Основні диференціальні рівняння фільтрації багатофазних систем

ОСНОВИ ТЕОРІЇ ФІЛЬТРАЦІЇ БАГАТОФАЗНИХ СИСТЕМ У ПОРИСТИХ ПЛАСТАХ

Ми припускали в розд. 11, відповідно до взятої схеми поршневого витіснення, що в зоні витіснення насиченість нафтою дорівнює залишковій нафтонасиченості, нафта нерухома, а рухається тільки вода. У дійсності картина складніша, має місце непоршневе витіснення.

Непоршневе витіснення нафти – це витіснення, за якого в зоні витіснення одночасно рухаються витіснювальний і витіснюваний флюїди, тобто за фронтом витіснення має місце рух багатофазної системи.

Багатофазна (гетерогенна) система складається з кількох фаз, кожна з яких є однорідною (гомогенною) і відокремленою від інших фаз чіткими межами. Прикладом багатофазної системи є суміш нафти, газу та води. Підкреслимо, що нафта й газ є багатокомпонентними (складаються їх суміші з різних вуглеводнів, що взаємодіють на молекулярному рівні), причому може мати місце перехід компонентів з одної фази в іншу (наприклад, із рідини в газ).

Основні диференціальні рівняння фільтрації багатофазних систем

Рівняння руху. Рівняння руху в разі фільтрації багатофазних систем, наприклад суміші нафти і води, які знаходяться в термодинамічній рівновазі, можна записати як узагальнення закону Дарсі, справедливість чого доведена експериментально:

; (12.1)

(12.2)

або з урахуванням масових (гравітаційних) сил

(12.3)

, (12.4)

де Q _і – об’ємна витрата і -тої фази; індекси і = 1, 2 – номери фаз (відповідно води і нафти); k – коефіцієнт абсолютної проникності пласта; – відносний коефіцієнт проникності (або ще кажуть відносна фазова проникність); s _і - насиченість пор і -тою фазою; m_і – динамічний коефіцієнт в’язкості фази; r_і – густина фази; p _і – тиск в і -й фазі; Х – проекція прискорення масових сил на напрям руху х (у полі сил гравітації ; a – кут нахилу осі х до горизонту); – площа фільтрації як функція координати х.

Припускаємо наявність двох фаз. Тоді очевидно, що

, (12.5)

, (12.6)

тобто s ₁ однозначно визначає s ₂.

Відносний коефіцієнт проникності гірських порід пласта (відношення коефіцієнта фазової проникності до коефіцієнта абсолютної проникності) залежить від багатьох чинників (наприклад, від відношення коефіцієнтів в’язкостей фаз, впливом якого нехтують), але в основному він є функцією насиченості (згадаймо графіки Вікова-Ботсета), тоді

; , (12.7)

де – насиченість витіснювальною фазою (водою).

Нагадуємо, що для кожної фази існує гранична насиченість, коли за значин насиченості менших від неї ця фаза є нерухомою. Так, для водонафтової суміші рух першої фази – води – може відбуватись тільки тоді, коли насиченість водою s > s _{з в}, а другої фази – нафти – коли s < (1 – s _{з н}), де s _{з в} – насиченість зв’язаною водою; s _{з н} – насиченість залишковою нафтою (залишкова нафтонасиченість). Отже, спільний рух двох фаз має місце лише в такому інтервалі зміни насиченості водою (рис. 12.1, а):

s _{з в} < s < (1 – s _{з н}),

а в цьому інтервалі сума відносних коефіцієнтів проникностей для кожної фіксованої значини водонасиченості s є меншою одиниці:

Графіки являють собою асиметричні криві, із аналізу яких випливає, що присутність нерухомої змочувальної фази (води) мало впливає () на рух незмочувальної фази (нафти), тоді як присутність залишкової незмочувальної фази (нафти) створює значний опір рухові змочувальної фази ().

Зміну відносних коефіцієнтів проникностей для води і нафти в залежності від водонасиченості s можна описати одними із наступних трьох типів наближених емпіричних залежностей (тип слід вибирати за експериментальними даними стосовно до конкретних умов і відповідно до характеру кривих):

а)		за ;     за ;     за ;   за ;	(12.8)
		за ;   за ;   за ;	(12.9)
б)		за ;     за ;	(12.10)
		за ;   за ;   за ;	(12.11)
в)		за ;     за ;	(12.12)
		за ;   за ,	(12.13)

де – водонасиченість, за якої відносний коефіцієнт проникності для нафти , ; n ₁, n ₂, n ₃ – показники степенів, які можуть бути, наприклад, або n ₁ = n ₂ = n ₃ = 1; n ₁ = 4, n ₂ = 1/2; n ₃ = 2, або n ₁ = 4, n ₂ = 1/4; n ₃ = 3/2, або n ₁ = 2, n ₂ = 1/2; n ₃ = 2; а ₁, а ₂ – числові коефіцієнти (коефіцієнт а ₂ визначаємо із умови, що , а коефіцієнт а ₁ із умови, що , а водонасиченість s ₁ задаємо відповідно як аргумент точки переходу кривої із ввігнутої на випуклу).

Відносні коефіцієнти проникностей для води () і газу () можна визначити за формулами (12.8) і (12.9), коли n ₁ = n ₂ = 1, n ₃ = 4, або коли n ₁ = 4; n ₂ = 1/4; n ₃ = 4, або взяти у вигляді:

	за ;     за ;	(12.14)
	за ;   за ,	(12.15)

де – насиченість газом, .

М.Маскет запропонував аналітичні вирази відносних коефіцієнтів проникностей для нафти () і газу ():

; (12.16)

, (12.17)

де s ₁, s ₂ – насиченості нафтою і газом; s ₁₀, s ₂₀ – граничні величини нафто-газонасиченості за нерухомості відповідної фази; s _1м – „мертва” насиченість нафтою, яка не впливає на рухомість газу (наприклад, для Долинського нафтового родовища s ₁₀ = 0,4; s ₂₀ = 0,05; = 0,25).

У випадку одночасної фільтрації нафти, води і газу (трифазна фільтрація) можна поступити так. Спочатку беремо відомі коефіцієнти для двофазної фільтрації рідини (нафти та води) і газу, тобто і , де насиченість рідиною ; ; – водо- і нафтонасиченість. Відтак ураховуємо уже відносні коефіцієнти проникностей для води і для нафти , а тоді маємо для кожної фази: для води ; для нафти ; для газу , де s = s _в/ s _р.

Тиски у фазах р ₁ і р ₂ не дорівнюють один одному через капілярні ефекти, вони пов’язані між собою рівнянням капілярного тиску:

, (12.18)

де – капілярний тиск.

Для визначення капілярного тиску використовуємо безрозмірну функцію , названу функцією Леверетта, яку одержують за експериментальними даними (рис. 12.2) для однонапрямленого процесу (витіснення або просочування) без урахування гістерезисних явищ і яка виражається так:

, (12.19)

звідки

, (12.20)

де q – крайовий кут змочування; s – поверхневий (міжфазний) натяг; т – коефіцієнт пористості.

Рівняння нерозривності фаз. Для виведення рівняння нерозривності розглянемо баланс першої фази. При цьому припускаємо, що рідини нестисливі, взаємно не розчинні й хімічно не взаємодіючі, а фільтрація ізотермічна в недеформівному пористому середовищі.

Зміна об’єму рідини за час як різниця на виході і вході в елемент пористого середовища довжиною

викликає зміну насиченості пор фазою за цей же час від s до . Оскільки об’єм пор дорівнює , то, записуючи баланс рідини (співвідношення між прибутками та витратами), одержуємо рівняння нерозривності потоку першої фази

,

або

, (12.21)

або

, (12.22)

де v ₁ – швидкість фільтрації першої фази (води).

За аналогією для другої фази маємо рівняння нерозривності потоку другої фази

(12.23)

або

, (12.24)

де v ₂ – швидкість фільтрації другої фази (нафти).

Рівняння нерозривності потоку можна відповідно (див. розділ 3) поширити на тривимірний потік, тобто

; (12.25)

. (12.26)

Рівняння стану. Рівняння стану тут не потрібно, бо ми припустили для простоти систему нестисливою (флюїди та пласт недеформівні).

Отже, п’ять рівнянь – руху (12.3), (12.4), нерозривності (12.21), (12.23) та капілярного тиску (12.18) – складають замкнуту систему, що описує процес ізотермічної фільтрації нестисливої двофазної суміші, оскільки визначенню підлягають також п’ять невідомих .

Процеси фільтрації двофазних систем досліджують, використовуючи ці рівняння в рамках певних моделей, що відрізняються повнотою врахування окремих чинників.