Модель Баклея – Леверетта

Задача двофазної фільтрації без урахування капілярних сил відома як задача (модель) Баклея – Леверетта. Цю модель для випадку одновимірної фільтрації одержуємо з рівняння (12.39) за , тобто

(12.48)

або

.

Рівняння (12.48) належить до класу квазілінійних рівнянь першого порядку, які звичайно розв’язуються методом характеристик.

Вперше цю модель запропонували С.Баклей і М.Леверетт 1942 року для одновимірного витіснення нафти водою без урахування сил гравітації () у вигляді (рівняння Баклея-Леверетта):

(12.49)

або

,

чи

, (12.50)

де ; .

У цьому рівнянні змінні x і t мають фізичний зміст безрозмірних об’ємів і називаються відповідно просторовою та часовою змінними.

Незалежні змінні x і t, які визначаються із формул (12.38) і (12.41) відповідно для прямолінійно-паралельного і плоско-радіального потоків, можна подати в єдиній формі для цих одновимірних потоків і поширити на загальний випадок, коли сумарна „питома” витрата q фаз залежить від часу, тобто

; , (12.51)

де L – характерний лінійний розмір; n – параметр, причому n = 1 для прямолінійно-паралельного потоку і n = 2 для плоско-радіального потоку, а для останнього випадку x = r i L = R _к; r – відстань від центра нагнітальної свердловини до розглядуваної точки пласта; R _к – радіус контура пласта; q (t) = v (t) і q (t) = Q (t) / (2π h) відповідно для прямолінійно-паралельного і плоско-радіального потоків; v (t) – сумарна швидкість фільтрації фаз; Q (t) – сумарна об’ємна витрата фаз; m – коефіцієнт пористості пласта; h – товщина пласта.

Таке подання змінних x і t дає змогу поширювати рівняння (12.50) і його розв’язки на прямолінійно-паралельний і плоско-радіальний потоки.

Функцію , як уже вказувалося, називають функцією Баклея-Леверетта, або функцією розподілу потоків фаз. Її фізичний зміст пояснюється так. Якщо домножити чисельник і знаменник у рівнянні (12.37) на (нагадаємо, що капілярні сили не враховуються), то дістанемо:

, (12.52)

звідки

, (12.53)

або

, (12.54)

тобто дорівнює частці витіснювальної рідини (води) в потоці.

Типовий графік функції і її похідної показано на рис. 12.1, б. Залежність функцій і від відношення динамічних коефіцієнтів в’язкостей води і нафти подано на рис. 12.3 (див. також рис. 12.1, б, пунктирні лінії). Характерною особливістю графіка є наявність точки перегину s _п з ділянками вгнутості і випуклості.

З використанням функції Баклея-Леверетта знаходимо швидкість фільтрації води v ₁ відповідно для прямолінійно-паралельного і плоско-радіального потоків

; , (12.55)

а швидкість фільтрації нафти

. (12.56)

Для розрахунку параметрів двофазного потоку до рівняння (12.50) треба додати початкову та граничну умови:

(12.57)

Перша умова (12.54) означає, що в початковий момент часу (), тобто до початку процесу витіснення в пласті мав місце відомий розподіл насиченості s водою, що описується функцією . Можна було б задати чи . Друга умова (12.54) означає, що на початку пласта (), тобто на лінії водонагнітальної галереї, за часу насиченість водою зростає, що описується функцією , хоч те ж можна задати .

У процесі витіснення нафти водою насиченість s в якій-небудь фіксованій точці пласта змінюється з часом. Разом з тим точки, в яких насиченість дорівнює якій-небудь фіксованій значині (точніше площина), переміщуються з часом у напрямі руху рідини. Цю насиченість s = const називають характеристикою рівняння (12.50) (метод розв’язування називають методом характеристик). У такому розумінні рівняння (12.50) є рівнянням руху площини з постійною насиченістю. Для визначення швидкості руху площини з постійною насиченістю можна записати:

, (12.58)

або

, (12.59)

звідки

, (12.60)

оскільки .

Із рівняння Баклея – Леверетта (12.50) маємо:

. (12.61)

Прирівнюючи рівняння (12.60) і (12.61), дістаємо рівняння швидкості переміщення площини з постійною насиченістю:

або

. (12.62)

Із рівняння (12.60) записуємо

,

а підставивши в рівняння Баклея – Леверетта (12.50), доходимо знову до рівняння (12.62), тобто еквівалентною рівнянню (12.50) в частинних похідних є система звичайних диференціальних рівнянь першого порядку (12.58) і (12.62), які називаються умовами на характеристиках.

Формальний розв’язок цієї системи рівнянь (12.58) і (12.62) за початкової і граничної умов (12.57) або розв’язок рівняння (12.62) для характеристики , що є розв’язком рівняння (12.58), можна записати:

(12.63)

або за

, (12.64)

де – початковий розподіл насиченості для (еквівалентно першому рівнянню умови (12.57)).

Задаючись значинами t, із рівняння (12.64) визначаємо координату x, де насиченість становить величину s.

Профіль насиченості зручно подати у вигляді залежності насиченості s від безрозмірної просторової координати:

, (12.65)

де – об’єм частини пласта, що обмежується координатою х; – сумарний об’єм води, що увійшла в пласт.

Тоді в кінцевому підсумку розв’язок (12.64) записуємо так:

. (12.66)

Для безпосереднього розрахунку, маючи експериментальні залежності відносних коефіцієнтів проникностей і від насиченості пор водою s (див. рис. 12.1, а), можна, використовуючи вираз (12.37), побудувати спочатку функцію , потім графічним диференціюванням – (див. рис. 12.1, б). Оскільки , то відповідно відразу маємо графік розподілу насиченості s уздовж координати z (див. рис. 12.1, в), що ідентичний графіку рис. 12.1, б.

Із рис. 12.1, в видно, що насиченість s у кожній точці пласта і в кожний момент часу t є двозначною. Фізично це є абсурдом – у кожній точці в кожний момент часу має існувати тільки одна цілком визначена насиченість. Звідси випливає, що залежність насиченості s від координати z справедлива тільки до деякої значини і для значина насиченості s має змінюватися стрибком від до , де s _{з в}– вміст (насиченість) зв’язаної води; s _ф – насиченість водою в точці .

Отже, для усунення двозначності припускаємо існування стрибка насиченості (s - стрибок) і вводимо поняття фронту витіснення, а безрозмірна координата є координатою фронту витіснення, причому

. (12.67)

Можна показати, що насиченість пор водою на фронті витіснення

(12.68)

звідки

. (12.69)

Співвідношення (12.69) виражає тангенс кута нахилу дотичної, проведеної з точки , до кривої , тоді абсциса точки дотику Д дорівнює насиченості водою s _ф на фронті витіснення.

Графічно безрозмірну координату і насиченість водою на фронті s _ф можна визначити з умови рівності площ, заштрихованих на рис. 12.1, в горизонтальними лініями. Зазначаємо, що на рис. 12.1, в s _н і s _{н ф} означають насиченості породи рухомою нафтою в зоні витіснення (у водонафтовій зоні) і на фронті витіснення.

Фізичною особливістю моделі Баклея-Леверетта є залежність швидкості поширення площини з насиченістю s від величини тієї ж насиченості s згідно з рівнянням (12.59). Таке явище називається дисперсією хвиль (нагадаємо, що дисперсія – це розсіяння, подрібнення). Так, у рівнянні (12.59) є функцією s. Як видно з рис. 12.2, б чи 12.3, функція зростає за , а значить, площини більших насиченостей поширюються з більшими швидкостями, де s _п – точка перегину графіка з ділянками вгнутості і випуклості. За відповідно швидкість поширення площини постійної насиченості починає зменшуватися ( зменшується). Тобто, як видно з початкового розподілу насиченості за t = 0 з перебігом часу t нахил профілю розподілу насиченості стає щораз крутішим, оскільки більші значини насиченості „наздоганяють” менші значини і в деякий момент відбувається „перекидання” хвилі насиченості, а графік стає неоднозначним (рис. 12.4). Така неоднозначність і усувається введенням стрибка насиченості. Стрибок насиченості виникає і поширюється, починаючи з моменту часу t_*, коли дотична до кривої стає вертикальною. Неоднозначність графіка показано ділянкою кривої 1 - 2 - 3 - 4 - 5 на рис. 12.4, де одному і тому ж x_ф відповідає три значини насиченості: s ₁, s ₂, s ₃. Величина стрибка визначається відрізком 1 - 3 - 5.

Якщо в початковий момент часу за насиченість , тобто є постійною вздовж координати x, причому (слабко обводнений пласт або насичений тільки нафтою за s ₀ = 0), то виникає стрибок насиченості (рис. 12.5, а). Якщо ж за таких же умов (високообводнений пласт), то стрибок насиченості відсутній (див. рис. 12.5, б).

Розв’язок задачі має вигляд для випадку

за x = 0, t > 0;

за 0 < x £ x_ф, t > 0;

за x_ф < x £ 1, t > 0

і для випадку

за x = 0, t > 0;

за 0 < x < , t > 0;

за < x < 1, t > 0,

де – координата фронту витіснення; s _ф, s ₀, s _{з в} – насиченість водою на фронті витіснення, початкова водонасиченість пласта (зокрема s ₀ = 0, s ₀ = s _{з в}, s ₀ > s _{з в}) і насиченість зв’язаною водою.

Середня водонасиченість s _с у зоні витіснення до прориву води із пласта дорівнює коефіцієнту нафтовилучення, точніше коефіцієнту витіснення , який подаємо так:

. (12.70)

Нагадуємо, що коефіцієнт нафтовилучення – це відношення кількості відібраної нафти до початкового запасу в покладі, а коефіцієнт витіснення – це відношення об’єму нафти, витісненої з області пласта, що зайнята водою, до початкового об’єму нафти у цій самій області. Рівність об’ємів запомпованої в пласт води і витісненої звідти нафти записуємо так:

,

звідки

, (12.71)

тобто інтеграл у рівнянні (12.71) (площа, заштрихована на рис. 12.1, в вертикальними лініями) дорівнює одиниці. Тут V _ф – об’єм пласта в зоні витіснення, а . Тоді

, (12.72)

або

. (12.73)

Вираз (12.73) має таку геометричну інтерпретацію. Якщо продовжити дотичну до кривої f (s) (див. рис. 12.1, б), яка визначає насиченість s _ф на фронті витіснення, до перетину в точці П з горизонтальною прямою f (s) = 1, то абсцисса точки П визначає середню водонасиченість s _с в зоні витіснення, причому s _с = η_в.

Коефіцієнт безводного нафтовилучення записуємо так:

. (12.74)

Чисельник у рівнянні (12.74) інтегруємо частинами і знаходимо:

, (12.75)

де враховано, що із виразу (12.64), , – найбільша (максимальна) водонасиченість на лінії нагнітання води.

Оскільки за рівнянням (12.67)

(12.76)

та із рівняння (12.66)

, (12.77)

то підставляючи рівняння (12.75) у рівняння (12.74), знаходимо коефіцієнт безводного нафтовилучення

або

. (12.78)

Звідси, враховуючи рівняння (12.37), виснуємо, що коефіцієнт безводного нафтовилучення збільшується із зростанням співвідношення динамічних коефіцієнтів в’язкостей (див. рис. 12.1, б і в, пунктирні лінії), тобто зі збільшенням динамічного коефіцієнта в’язкості витіснювальної фази (води) і (або) зі зменшенням динамічного коефіцієнта в’язкості витіснюваної фази (нафти).

Для наочності розподіл насиченості водою s вздовж координати х на різні моменти часу t, причому , показано на рис. 12.6, оскільки .

Отже, для графічного розрахунку процесу витіснення нафти водою необхідно:

а) побудувати графік функції Баклея-Леверетта f (s) за рівнянням (12.37), задаючи відношення μ_о динамічних коефіцієнтів в’язкостей фаз (води і нафти) та відносні коефіцієнти фазових проникностей води і нафти як функції коефіцієнта насиченості водою s (у вигляді експериментальних графіків чи емпіричних формул);

б) провести дотичну із точки s = s _зв до кривої f (s) і за точкою дотику Д (див. рис. 12.1, б) як абсцису її визначити насиченість водою s _ф на фронті витіснення та як ординату – значину функції Баклея-Леверета f (s _ф) на фронті витіснення;

в) за точкою П перетину даної дотичної з горизонтальною прямою f (s) = 1 визначити середню водонасиченість s _с в зоні витіснення, яка дорівнює коефіцєінту витіснення η_в;

г) безрозмірну координату ζ_ф фронту витіснення розрахувати за формулою (12.67) або із формули (12.72), причому f (s _зв) = 0;

д) безрозмірну просторову координату визначити за формулою ξ_ф = ζ_фτ, а розмірну просторову координату x чи r – з використанням формул (12.51). Так, для прямолінійно-паралельного потоку маємо: , де Q _Σ = Qt – сумарний об’єм запомпованої в пласт води; Q – об’ємна витрата води; t – час; m – коефіцієнт пористості пласта; F – площа фільтрації;

е) коефіцієнт безводного нафтовилучення за формулою (12.78).

Для аналітичного розрахунку процесу витіснення нафти водою необхідно:

а) задати (чи підібрати) аналітичні залежності відносних коефіцієнтів фазових проникностей води і нафти як функцій коефіцієнта насиченості водою s;

б) розв’язати нелінійне рівняння (12.69) відносно s _ф, тобто визначити коефіцієнт насиченості водою s _ф на фронті витіснення в системі MathCAD з допомогою фукції root;

в) розрахувати функцію Баклея-Леверетта для визначеного коефіцієнта насиченості водою f (s _ф);

г) із рівняння дотичної прямої лінії , яка проходить через дві точки з координатами [ f (s _зв), s _зв] і [ f (s _ф), s _ф], визначити коефіцієнт середньої насиченості s _с водою в зоні витіснення як точку перетину дотичної прямої лінії з горизонтальною прямою лінією f (s) = 1, тобто

,

де f (s _зв) = 0;

е) аналогічно попередньому розрахунку визначити безрозмірну координату ζ_ф, безрозмірну координату ξ_ф і розмірну просторову координату x чи r для заданого моменту часу t від початку процесу витіснення, коефіцієнт безводного нафтовилучення.

Задача 12.1. У пористому пласті має місце прямолінійно-паралельне витіснення нафти водою за законом Дарсі. Визначити величини коефіцієнта фронтової насиченості порового простору водою і координати фронту витіснення на момент часу t = 30 діб. Відомо: товщина пласта і ширина фільтраційного потоку h = 15 м і B = 400 м; довжина галереї L = 800 м; коефіцієнт пористості пласта m = 14%; дебіт галереї Q = 240 м³/доб (за пластових умов); динамічні коефіцієнти в’язкості нафти і води μ_н = 3 мПа×с і μ_в = 1 мПа×с. Відносні коефіцієнти фазових проникностей води і нафти задаються умовами:

де s – коефіцієнт водонасиченості пор.

Розв’язування. Для розв’язування використовуємо машинну програму в системі MathCAD. Відносні коефіцієнти фазових проникностей для води і нафти описується рівняннями:

Будуємо графіки залежностей відносних коефіцієнтів фазових проникностей від коефіцієнта водонасиченості s, для чого задаємо послідовний ряд значин кефіцієнта водонасиченості від 0 до 1 з кроком 0,01 (в системі MathCAD s = 0,0,01..1) (аналогічно графікам на рис. 12.1, а).

Розраховуємо функцію розподілу потоків фаз за формулою:

,

де – відношення динамічних коефіцієнтів в’язкостей води і нафти,

,

а відтак будуємо графік розподілу потоків фаз (функцію Баклея–Леверетта) від коефіцієнта водонасиченості f (s) (аналогічно графіку на рис. 12.1, б).

Для графічного визначення насиченості пор водою на фронті витіснення проводимо дотичну із точки s = s _зв = 0,2 до кривої f (s). За точкою дотику як абсцису визначаємо коефіцієнт насиченості водою на фронті витіснення s _ф = 0,59, а як ординату – значину функції Баклея–Леверетта f (s _ф) = 0,87.

За точкою перетину даної дотичної з горизонтальною прямою f (s) = 1 як абсцису визначаємо коефіцієнт середньої водонасиченості s _с = 0,64 в зоні витіснення, яка дорівнює коефіцієнту витіснення η_в.

Визначаємо безрозмірну координату фронту витіснення за формулою:

2,231,

причому f (s _зв) = 0.

Визначаємо безрозмірну просторову координату за формулою:

ξ_ф = ζ_ф τ,

де τ = 0,0107; Q – об’ємна витрата води, м³/доб; t – час, доб; m – коефіцієнт пористості пласта; F = Bh – площа фільтрації, м², тобто:

ξ_ф = 2,231·0,0107 = 0,02387.

Розмірну просторову координату фронту витіснення розраховуємо за формулою:

19,120 м,

де Q t – сумарний об’єм запомпованої в пласт води, м³.

Визначаємо коефіцієнт безводного нафтовилучення за формулою:

0,560.

Для аналітичного розрахунку процесу витіснення нафти водою використовуємо нелінійне алгебраїчне рівняння , яке розв’язуємо відносно s _ф. Для визначення коефіцієнта насиченості водою s _ф на фронті витіснення перетворюємо дане рівняння до вигляду , для чого похідну виражаємо (у машинній програмі MathCAD) так .

Використовуючи команду root у машинній програмі MathCAD, визначаємо s _ф, для чого задаємо дві граничні значини області водонасиченості, в якій існує шукана значина s _ф:

0,59009,

де 0,3 та 0,8 – граничні значини можливої області існування s _ф; s _ф = 0,59009.

Розраховуємо значину функції Баклея–Леверетта:

0,86998.

Із рівняння дотичної прямої лінії , яка проходить через дві точки з координатами [ f (s _зв), s _зв] і [ f (s _ф), s _ф], визначаємо коефіцієнт середньої насиченості водою в зоні витіснення як точку перетину дотичної лінії з горизонтальною прямою лінією f (s) = 1, тобто

0,64839,

де f (s _зв) = 0.

Аналогічно попередньому розрахунку визначаємо координату ζ_ф = = 2,223, ξ_ф = 2,223·0,0107 = 0,0239, а потім і координату фронту витіснення нафти водою x _ф = 19,143 м на момент часу t = 30 діб.

Відповідь: коефіцієнт фронтової насиченості s _ф = 0,59009; координата фронту витіснення х _ф = 19,143 м.