Приближенное определение прогиба и напряжений в круглой мембране

При выводе приближенных формул предполагается, что защем­ленная на контуре мембрана радиусом а и толщиной h (рис.72) изгибается, образуя шаровую поверхность, и что нагрузка q действует по нормали к этой изогнутой поверхности. При этих условиях усилия N и напряжение s (рис. 73, а)

а	б

Рис. 73

по кромкам элемента, вырезанного из мембраны двумя взаимно перпендику­лярными сечениями, окажутся одинаковыми. При размерах эле­мента, равных единице,

. (4.55)

Согласно уравнению равновесия сумма проекций нагрузки и усилий, действующих по кромкам элемента на нормаль z к по­верхности элемента

(4.56)

Центральный угол j выражаем через длину дуги кромки эле­мента и радиус кривизны r. Замена в уравнении (4.56), ввиду малости j,

дает выражение:

- для усилия ;

- для кривизны . (4.57)

Тогда для напряжения из формулы (4.55) получим

. (4.58)

Приближенное дифференциаль­ное уравнение изогнутой средин­ной поверхности на основании за­висимости (4.57)

.

Величина прогиба в середине мембраны получается на основа­нии закона сохранения энергии

U = A. (4.59)

где U – потенциальная энергия деформации мембраны;

A – работа внешних сил на перемещениях, вызван­ных деформацией мем­браны.

Потенциальная энергия мембраны

, (4.60)

где удельная потенциальная энергия деформации с учетом того, что на основании закона Гука

,

может быть выражена через напряжение следующим образом:

.

Тогда, на основании формулы, (4.58)

. (4.61)

Зависимость между радиусом кривизны r и прогибом w₀ в сере­дине мембраны (рис. 73, б)

или после возведения скобки в квадрат и отбрасывания как величины высшего порядка малости

откуда

(4.62)

Подстановка этого значения r в формулу (4.61) и значения и в фор­мулу (4.60) дает выражение для потенциальной энергии

. (4.63)

Работа А внешних сил получится как интеграл, взятый по площади мембраны, половины произведения элементарной силы qdxdy на прогиб w (ху):

(4.64)

Интеграл в выражении (4.64) представляет собой объем V_ш.с. шарового сег-мента с высотой w₀ и радиусом а:

или, если отбросить ,

.

Поэтому выражение (4.64) примет вид

. (4.65)

При подстановке значений (4.63) и (4.65) в выражение (4.59), получаем

.

Тогда прогиб в середине мембраны

Для стальной мембраны при m = 0,3 прогиб

. (4.66)

Точное решение, полученное путем интегрирования дифференциаль­ных уравнений (4.53), дает

.

Нормальное напряжение s получается, если в формулу (4.58) подставить r из формулы (4.62) и w₀ из формулы (4.66):

или

.

Точное решение на базе системы (4.53) дает выра­жение

.