Изгибающие моменты при осесимметричном изгибе круглой пластины

Если круглая пластина (рис. 59, а) подвергается действию нагрузки, симметричной относительно вертикальной оси z, про­ходящей через центр О пластины и называемой центральной, осью, то изогнутая срединная поверхность ее представляет собой поверх­ность вращения, симметричную относительно оси z. Поэтому се­чение пластины любой радиальной вертикальной плоскостью хОz, изображенное на рис. 59, б, окажется также симметричным от­носительно оси z. На рис.59 через х обозначена любая ось, ле­жащая в срединной плоскости и совпадающая с радиусом пла­стины; все точки А, лежащие на окружности радиусом х, испыты­вают одинаковое усилие, их вертикальные прогибы w (перемеще­ния, параллельные оси z) тоже одинаковы.

а	б

Рис. 59

Если координата х получила приращение dx, то прогиб w получит соответствующее приращение dw. Отношение

(4.28)

представляет собой приближенно, ввиду малости w, угол наклона, который составляет касательная ТТ, проведенная в точке А, к изогнутой срединой поверхности пластины. При заданном направлении оси z тангенс угла j и, следовательно, и угол j - отрицательны. Как известно, криволинейная поверхность имеет в любой точке А два главных радиуса кривизны r₁ и r₂, из которых один наибольший, а другой наименьший. Радиусы кривизны в данной точке со­впадают с главной нормалью, т. е. с нормалью, лежащей в плоскости кривизны и пер­пендикулярной к касатель­ной плоскости, проведенной в точке А к криволинейной поверхности.

Для круглой симметрично нагруженной пластины (рис. 60) главный радиус кривизны r₁ характеризует собой кривизну изогнутой срединной поверхности в плоскости хОz. Центр C₁ кри­визны может находиться выше или ниже плоскости Ох в зави­симости от изгиба пластины: выпуклостью вниз или вверх.

Рис. 60

Радиус кривизны r₂ характеризует собой кривизну изогнутой срединной поверхности в направлении, перпендикулярном к пло­скости чертежа, и представляет собой образующую конуса, вер­шина которого C₂ лежит на оси z, а радиус основания равен х. На основании приближенного выражения аналити-ческой гео­метрии и зависимости (4.28) главная кривизна

. (4.29)

Из прямоугольного треугольника АВС₂ видно, что

,

откуда вторая главная кривизна

. (4.30)

Подстановка значений (4.29) и (4.30) в формулы (4.13), (4.14) с учетом (4.15) дает выражения для погонных из­гибающих моментов радиального М_r и окружного М_T:

. (4.31)

Для дальнейших выводов понадобится еще выражение произ­водной погонного радиального изгибающего момента

. (4.32)