Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Это уравнение может быть получено из уравнения (4.11) путем преобразования его на основании формул перехода от прямоугольных коорди-нат к полярным. Применительно к осесимметричной задаче той же цели можно достигнуть при непосредственном рассмотрении элемента круглой пластины. Для этого выделим из круглой пластины толщиной h, испытывающей распределенную нагрузку, симметричную относительно центральной оси z, двумя радиальными сечениями, составляющими между собой угол dq, и двумя окружными сечениями с радиусами х и х + dx элемент, заштрихованный на рис. 61 и показанный отдельно на рис. 62. Этот элемент подвергается действию не показанной на рис. 62 распределенной нагрузки, погонных поперечных сил Q и Q + dQ и погонных изгибающих радиальных моментов Mr и Мr + dMr по окружным сечениям, а также погонных окружных изгибающих моментов МT по радиальным сечениям.
Рис. 61 | Рис. 62 |
В силу симметрии нагрузки относительно центральной оси z поперечные силы по радиальным сечениям отсутствуют, а погонные изгибающие моменты МT одинаковы. На рис. 62 показаны изгибающие моменты, гнущие пластину выпуклостью вниз. Значения моментов приняты положительными.
Для составления уравнения равновесия элемента изгибающие моменты, действующие по граням элемента, изображаются в виде векторов (рис. 63). Стрелка вектора, перпендикулярного к плоскости действия момента, направле-на в ту сторону, с которой вращение момента представляется происходящим по часовой стрелке. Приравняем нулю сумму проекций всех сил, действующих на вырезанный элемент, на ось Т, перпендикулярную к биссектрисе, делящей угол dq пополам.
Рис. 63
При составлении уравнения моментов можно пренебречь ввиду малости элемента неравномерностью расположенной на нем нагрузки и моментом, вызванным приращением dQ поперечной силы в радиальном направлении. Поэтому поперечные силы, действующие по граням элемента, сводятся к моменту с плечом dx, который изображается вектором Qxdqdx, параллельным оси Т. Умножение всех погонных усилий на длину грани, по которой они действуют, проектирование этих усилий на ось Т и приравнивание суммы проекции нулю дает выражение
. (4.33)
В уравнении (4.33) синус угла ввиду малости заменен углом . После сокращения на dq, раскрытия скобок и отбрасывания члена dMr dx высшего порядка малости уравнение (4.33) принимает вид
или, после деления всех членов на х dx,
. (4.34)
Подстановка в уравнение (4.34) выражений для Мк, МТ и через j по формулам (4.31) и (4.32) приводит к уравнению
. (4.35)
Уравнение (4.35) представляет собой дифференциальное уравнение равновесия изогнутой срединной поверхности круглой пластины, выраженное через угол j, составляемый касательной к изогнутой срединной поверхности с осью х.
Если в этом уравнении на основании (4.28) заменить j на , можно получить другой вид дифференциального уравнения относительно вертикаль-ного перемещения w
.
Погонная поперечная сила в круговом сечении радиусом х на основании рис. 64 при распределенной нагрузке
.
Рис. 64
Интегрируя дифференциальное уравнение (4.35), можно найти уравнение углов j, а затем, на основании зависимости (4.28), и уравнение прогибов w в виде функции от х. Произвольные постоянные, входящие в эти уравнения, находятся из граничных условий на контуре пластины или на границе двух соседних участков. При подстановке найденных выражений для j или w в уравнения (4.31) находят выражения для радиального и окружного изгибающих моментов в виде функции от х. По этим выражениям могут быть построены эпюры изгибающих моментов и найдены их наибольшие значения.
Пусть на круглую пластину (рис. 65) действуют направленные вниз равномерно распределенная нагрузка q и центральная сила Р. По наружному контуру радиусом r приложены произвольно направленные распределенные погонные силы Р0 и погонные изгибающие моменты М0. Составим уравнения
Рис. 65
углов j и прогибов w. Для возможности интегрирования левую часть уравнения (4.35) необходимо преобразовать следующим образом:
. (4.36)
Приравняв суммарную поперечную силу по контуру радиусом х, равную Q2px (рис. 66), всей нагрузке, помещающейся на круге радиусом и равной Р + q×pх2, найдем погонную поперечную силу
. (4.37)
Рис. 66
Замена выражений, стоящих в левой и правой частях уравнения (4.35) соответствующими выражениями (4.36) и (4.37), приводит к легко интегрируемому дифференциальному уравнению
. (4.38)
Первое интегрирование выражения (4.38) дает
. (4.39)
Второе интегрирование выражения (4.39) дает
. (4.40)
Уравнение (4.40) называется уравнением углов, составляемых касательной к изогнутой срединной поверхности с осью х или уравнением углов поворота нормали к изогнутой срединной поверхности. После подстановки в уравнение (4.40) вместо j величины на основании формулы (4.28) и умножения обеих частей уравнения на dx, оно получает вид
.
Интегрирование дает
. (4.41)
Уравнение (4.41) называется уравнением прогибов или уравнением изогнутой срединной поверхности пластины.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 535 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!