Основные определения и допущения

ГЛАВА 4

ПЛАСТИНЫ, МЕМБРАНЫ

Основные определения и допущения

Пластиной называется тело призматической или цилиндриче­ской формы, у которого один размер (толщина h) значительно меньше других (а и b), измеренных в плоскостях оснований (рис. 39). В технике широко используются круглые и прямо­угольные пластины; иногда встречаются пластины и других очертаний в плане. Толщина пластины может быть как постоянной, так и переменной.

Рис. 39

Примером круглой пластины может служить днище Д цилин­дрического сосуда - бака, котла, трубы (рис. 40, а) - или поршень П, движущийся в цилиндре (рис. 40, б). Примером прямоугольной пластины, защемленной одной кромкой, может служить каждая из вертикальных стенок с сечения, составленного из листов, при значительной жесткости полки п (рис. 40, в), а при­мером пластины, упруго защемленной тремя кромками, - стенка прямоугольного резервуара (рис. 40, г).

Плоскость, находящаяся на равных расстояниях от верхнего и нижнего оснований и делящая пополам толщину h пластины постоянной толщины (рис. 39), называется срединной пло­скостью. После изгиба срединная плоскость превращается в сре­динную поверхность изогнутой пластины.

При изучении пластин принимается система координат, при которой начало координат и оси х и у лежат в недеформированной срединной плоскости пластины, а ось z направлена перпендику­лярно к срединной плоскости. В общем случае на пластину могут действовать различно направленные силы. Каждую из этих сил можно разложить на две составляющие: действующую в средин­ной плоскости и перпендикулярную к ней. Совокупность состав­ляющих усилий в срединной плоскости, называемых цепными усилиями, вызывает деформацию только в этой плоскости, а сово­купность составляющих, перпендикулярных к срединной пло­скости, изгибает пластину. В дальнейшем предполагается, что нагрузка, испытываемая пластиной, перпендикулярна к ее срединной плоскости, т. е. составляющие нагрузки в срединной плоскости равны нулю.

а	б
в	г

Рис. 40

При определении усилий и деформаций для пластин средней толщины принимаются следующие допущения:

1. Перпендикуляр AD к срединной плоскости, опущенный из любой точки D пластины (рис. 41), остается после изгиба прямым и нормальным к изогнутой срединной поверхности (А₁D₁). Это допущение, называемое допущением о прямых нормалях, соот­ветствует гипотезе плоских сечений, на котором основана теория изгиба балок.

Влияние на величину перемещений некоторого искривления нормали, происходящего вследствие сдвигов, не учитывается. Оно значительно меньше, чем перемещения или , вызы­ваемые поворотом нормали вслед­ствие искривления срединной плос­кости при изгибе.

2. Нормальными напряжениями , действующими по площадкам, парал­лельным срединной плоскости, можно пренебречь по сравнению с другими напряжениями и принять

(4.1)

Это допущение называется допу­щением об отсутствии поперечного давления.

Рис. 41

Для относительных деформаций можно использовать формулы

. (4.2)

При изучении поперечного изгиба пластины средней толщины считаем: 1) срединную плоскость свободной от цепных усилий, 2) линейные и угловые деформации в срединной поверхности изогну­той пластины - отсутствующими. Перечисленные допущения приме­нимы только при малом прогибе пластины.

Пластину можно условно отнести к тому или иному виду в зависимости от отношения толщины h к наименьшему размеру а пластины в плане (рис. 39). Существует три вида пластин, принципиально отличающихся друг от друга характером распре­деления напряжений и способом расчета:

1. Плиты - толстые пластины, имеющие отношение

У этих пластин (рис. 42) высота настолько велика по сравне­нию с пролетом

Рис. 42

и они настолько жестки, что касательные напряже­ния t, возникающие по сечениям С - С от перерезывания под дей­ствием нагрузки, имеют тот же поря­док, что и нормальные напряжения s, вызванные изгибом. Плоскость, сво­бодная от цепных усилий и от деформаций, смещается по отноше­нию к срединной плоскости, а нор­мальные напряжения распределяются по высоте сечения уже не по прямолинейному, а по криволинейному закону.

Допущения, перечисленные выше, при расчете плит непри­менимы.

2. Пластины средней толщины, имеющие отношение

Под действием сил, перпендикулярных к срединной плоскости, пла­стина изгибается, но вследствие достаточной жесткости прогиб w (рис. 43) не превосходит толщины h и опертая пластина способна нести вертикальную нагрузку. Эпюра нормальных на­пряжений в сечениях, перпендикулярных к срединной плоскости, прямолинейна. Характерная особенность изгиба пластин нагрузкой, нормальной к срединной плоскости, заключается в том, что он нередко сопровождается кручением.

Рис. 43

3. Мембраны - пластины, имеющие отношение

Мембраны тонки и гибки, поэтому, чтобы они могли нести нагрузку, нормальную к срединной поверхности, их часто за­крепляют на контуре (рис. 44).

Рис. 44

При этом нагрузка поддерживается мембраной в основном не за счет ее изгиба, а за счет растяжения по всей толщине. Таким образом, можно считать, что нормальные напряжения распределяются равномерно по толщине мембраны и срединная поверхность не свободна от напряжений. Прогибы w мембраны велики и могут в несколько раз превышать ее толщину h.

Мембраны широко применяются в различных акустических ап­паратах и гидравлических устройствах.

В зависимости от характера кон­струкции любая кромка пластины (рис. 45)

Рис. 45

может быть защемлена (кромка 1), свободно оперта (кром­ка 2)или свободна от закреплений (кромки 3 и 4). Возможно также упругое закрепление кромки пла­стины, промежуточное между сво­бодной кромкой и защемлением, ко­торое дает возможность срединной поверхности под действием нагрузки в той или иной степени поворачиваться на упруго защемленной кромке. Примыкание кромки пластины 1 к любому упругому элементу 2 (рис. 46) представляет собой упругое ее закрепление; возможный угол поворота j на кромке обратно пропорционален жесткости эле­мента 2, к которому она прикреплена.

Рис. 46

Указанный выше признак деления пластин на плиты, пластины средней толщины и мембраны следует считать условным. Главное различие между этими клас­сами заключается в соотношении между величиной цепных и из-гибных усилий, которое может быть установлено только расчетом. Одна и та же пластина в зависимости от величины отношения про­дольных сил к изгибающим моментам и от способа закрепления на контуре может быть отнесена к тому или иному классу.

Цепные продольные усилия, вызывающие равномерно распре­деленные по толщине напряжения, могут появиться при попереч­ном нагружении пластины, закрепленной на контуре, вследствие препятствий, которые оказывают опоры сближению кромок пла­стины.

Наличие продольных усилий сказывается на элементах из­гиба: прогибы, изгибающие моменты и поперечные силы тем боль­ше, чем меньше отношение . Растягивающие продольные силы уменьшают, а сжимающие увеличивают элементы изгиба от задан­ной поперечной нагрузки. Это влияние для защемленной на кон­туре пластины меньше, чем для опертой.