![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Рассмотрим интеграл от функции, для которой существует точка (точки) сÎ [ a;b ] такая, что
(точка разрыва 2-ого рода[7]). Отметим, что эти особые точки можно сразу перевести на границу
.
Способ 1. Интегрирование по частям.
.
Последний интеграл может не иметь особенностей.
Способ 2. Мультипликативное выделение особенности.
,
где функция r (х) соответствует, например, весовой функции квадратурной формулы Гаусса-Чебышева, а g (x) – ограниченная функция.
Способ 3. Аддитивное выделение особенности.
,
где функция j (х) имеет особенность, но легко интегрируется точно (без применения численных методов), а функция y (х) – достаточно гладкая ограниченная функция, чтобы воспользоваться какой-либо стандартной квадратурной формулой.
3.12 ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КРАТНЫХ
ИНТЕГРАЛОВ. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО
Ограничимся рассмотрением двойных интегралов вида
.
Способ 1. Замена подынтегральной функции многомерным интерполяционным полиномом (п.2.9) с последующим простым интегрированием:
.
Способ 2. Сведение к последовательному вычислению определенных интегралов.
Например, для прямоугольной области интегрирования G (рис.3.2, а))
,
где .
Теперь разбиваем область интегрирования по х на n шагов, а по y на m шагов. Последовательно фиксируем узлы хi и находим интегралы F (xi) по какой–либо квадратурной формуле:
Затем, применяя эту же (или другую) квадратурную формулу, находим искомый интеграл
.
Таким образом, , где Сij=Cj Di.
Эта формула называется кубатурной формулой. Ее погрешность складывается из погрешностей примененных квадратурных формул и равна .
Если же область интегрирования – криволинейная (рис.3.2, б), то ее можно перевести в прямоугольную путем подходящей замены переменных. Например, пусть xÎ [ a;b ], yÎ [ j(x);y(x) ]. Тогда замена
переводит ее в прямоугольную xÎ [ a;b ], t Î [0; 1].
Можно пойти и по другому пути. Строим прямоугольник R É G, стороны которого параллельны осям координат (рис. 3.2, в) и рассматриваем вспомогательную функцию
.
![]() |
Рис.3.2. Двумерные области интегрирования
Тогда, очевидно,
,
и для последнего интеграла строится кубатурная формула.
Способ 3. Метод Монте-Карло.
Особое место среди численных методов занимают вероятностные методы. Все вычислительные алгоритмы, которые рассматривались до сих пор, являлись детерминированными. Это означает, что при любом таком алгоритме результат, соответствующий одному и тому же шагу алгоритма, при многократной реализации алгоритма будет совпадать.
Наряду с детерминированными процессами имеют место процессы заранее непредсказуемые – случайные. Алгоритмы, реализующие случайные процессы, называются вероятностными. Способы решения задач, использующие случайные величины, получили общее название методов Монте-Карло.
В основе оценки искомого значения интеграла I лежит известное соотношение («теорема о среднем»)
,
где fcp –значение подынтегральной функции в некоторой «средней» точке области интегрирования, а s – многомерный объем области интегрирования.
Например, для двойного интеграла
,
где DG – площадь области G.
При этом предполагается, что подынтегральная функция непрерывна в области интегрирования.
Выберем в этой области N случайных точек Аi. При достаточно большом N приближенно можно считать что
.
Строгое обоснование этой формулы дает закон больших чисел теории вероятности.
Следовательно, приближенная формула для вычисления кратного интеграла I имеет вид:
.
Например, для интеграла на отрезке [ a,b ]
,
для двойного интеграла на прямоугольной области
.
Здесь xi, hi – координаты случайных точек, лежащих в заданной области. Эти координаты – случайные числа, то есть значения независимых одинаково распределенных случайных величин.
Таким образом, возникает проблема получения последовательности случайных чисел, лежащих в заданном диапазоне.
В современных ЭВМ случайные числа , равномерно распределенные на отрезке [0; 1], задаются с помощью специальных программ – датчиков случайных чисел. Строго говоря, они не случайные (раз имеется алгоритм их нахождения!), но практически они обладают статистическими характеристиками, свойственными случайным числам. У каждого алгоритма есть свое число членов последовательности, которое можно использовать в расчетах (период датчика). При большем числе членов теряется случайный характер чисел, например, может обнаруживаться периодичность. Поэтому, такие числа носят название псевдослучайных. [8]
Чтобы их использовать для получения координат случайных точек Ai, достаточно выполнить преобразование
Метод Монте-Карло является универсальным методом вычисления интегралов высокой кратности. Его погрешность , то есть число узловых точек N» (1 /e)2 независимо от кратности интеграла.
Для сравнения: расчеты по кубатурным формулам р- ого порядка точности для функции m переменных на n шагах по каждой переменной дают количество узлов N=nm и погрешность расчета e»n–p. Поэтому число узлов N» (1 /e) m/p экспоненциально растет при повышении кратности интеграла.
[1] Уже известное нам исключение – центральные формулы численного дифференцирования.
[2] Термин «квадратура» обычно используется для численной аппроксимации определенных интегралов, чтобы избежать путаницы с численным интегрированием обыкновенных дифференциальных уравнений.
[3] Можно, конечно, подставлять полиномы вида Pi(x)=xi, но тогда и уравнения, и процесс получения решения будут более громоздкими
[4] В отличие от предыдущих пунктов, для удобства изложения будем нумеровать с i =1, т.е. n – число узлов.
[5] Например, сведением к задаче нахождения корней полинома – см. п. 4.7.1.
[6] Эта формула часто называется формулой Эрмита. Здесь (и далее) использовано название, отвечающее виду ортогональных полиномов, используемых для нахождения узловых точек.
[7] Если с - точка разрыва 1 рода (то есть существуют конечные пределы слева и справа), то исходный первый интеграл можно свести к сумме двух собственных интегралов.
[8] Оставим в стороне вопрос об алгоритмах получения псевдослучайных чисел. Интересующиеся могут обратиться к книге Н.С. Бахвалова и др. [5].
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 577 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!