Формула Симпсона

Аппроксимируем подынтегральную функцию полиномом второй степени, построенным по трем узлам: x_{i– 1}, x_{i– 1/2}, x_i. Интерполяционный полином Лагранжа второй степени имеет вид

Тогда

Получили формулу Симпсона для элементарного отрезка [ x_{i– 1}, x_i ].

Суммируя, получаем составную формулу Симпсона:

(3.9)

Оценим погрешность формулы Симпсона.

Так как эта формула – симметричная, то сразу можно сделать вывод о том, что способ определения погрешности квадратурной формулы по погрешности интерполяционной формулы

будет безрезультатным (проверьте!). Поэтому используем разложение в ряд Тейлора узловых значений функции в окрестности точки x=x_{i– 1/2}:

.

Для составной формулы Симпсона

Таким образом, формула Симпсона существенно точнее, чем формула прямоугольников или трапеций. Порядок точности – четвертый.

Примечание 5. О формуле Симпсона без полуцелых точек.

Формулу Симпсона можно записать по-другому, если пронумеровать насквозь и целые, и полуцелые точки.

Тогда n= 2 m (то есть n – четное число), новый шаг интегрирования h ₁ = h/ 2 = (b–a) / (2 m), а формула имеет вид:

(3.10)

Погрешность

.

Конец примечания 5.