Формула Гаусса-Эрмита

На промежутке (– ¥; + ¥) свойством ортогональности с весом обладают полиномы Эрмита

.

H 0(x) = 1; H 1(x) = 2 x; H 2(x) = 4 x 2 – 2; H 3(x) = 8 x 3 – 12 x; ¼ Hn+ 1(x) = 2 xHn (x) – 2 nHn– 1(x).

Следовательно,

, (3.22)

где x_i – корни полинома Эрмита n- ой степени. Для них также нет общей формулы, поэтому они либо определяются из решения соответствующего алгебраического уравнения, либо из таблиц.

Коэффициенты квадратурной формулы Гаусса–Эрмита имеют вид:

Погрешность квадратурной формулы Гаусса-Эрмита

.

Например, при n =2 формула Гаусса-Эрмита имеет вид

.

3.11 ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ

НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Напомним, что несобственными интегралами называются интегралы с неограниченными пределами интегрирования или с неограниченными подынтегральными функциями. Будем рассматривать сходящиеся несобственные интегралы. Универсальных методов их выражения нет, но можно указать несколько полезных приемов.