Дифференцирования

Другой способ построения формул численного дифференцирования – метод неопределенных коэффициентов.

Суть его заключается в следующем.

Искомое выражение для производной i -ого порядка в некоторой узловой точке x=x_k представляется в виде линейной комбинации заданных значений функции в узлах x ₀, x ₁ ,..., x_n:

,

где С_j – некоторые пока не определенные коэффициенты.

Потребуем, чтобы эта формула была точна для полиномов возможно больших степеней n, то есть чтобы при подстановке в нее полиномов, например, вида

у= 1; y=x–x_k ; y= (x–x_k)²; y= (x–x_k)³ ;...; y= (x–x_k) ⁿ,

она обращалась в точное равенство:

.

Этим свойством обладают все формулы численного дифференцирования, в чем легко убедиться, подставляя поочередно полиномы вида у= 1; y=x–x ₁; y= (x–x ₁)²

в формулу численного дифференцирования примера 2.

Полином 3-ей степени y= (x–x ₁)³уже не дает точного равенства.

Таким образом, для нахождения коэффициентов С_j (j= 0 ...n) некоторой формулы численного дифференцирования получаем систему из (n+ 1) линейных алгебраических уравнений.

Следующая задача – определение погрешности формулы численного дифференцирования R.

Это можно сделать, например, разложением в ряд Тейлора значений функции y (x) в точке x=x_i, но предлагаемый способ позволяет найти погрешность, продолжая процесс подстановки полиномов.

Основная идея заключается в том, что для степеней полиномов больших, чем n, формула численного дифференцирования возможно[1] будет уже неточной, то есть

.

Поэтому, найдя коэффициенты С_j, продолжаем подставлять полиномы более высоких степеней y= (x–x_k) ^m, где m>n, и определять R. Первое, отличное от нуля, значение R и будет погрешностью формулы численного дифференцирования, правда, пока для конкретного полинома степени m, то есть .

Пересчет на погрешность для произвольной функции y проводится по формуле

.

Пример 3. Найти выражение для производной в случае трех равноотстоящих узлов:

» C ₀ y ₀ + C ₁ y ₁ + C ₂ y ₂.

Используем следующие многочлены: у= 1; y=x–x ₀; y= (x–x ₀)²:

при у= 1 0 = C ₀ × 1 + C ₁ × 1 + C ₂ × 1;

при y=x–x ₀1 = C ₀(x ₀ –x ₀) + C ₁(x ₁ –x ₀) + C ₂(x ₂ –x ₀);

при y= (x–x ₀)²0 = C ₀(x ₀ –x ₀)² + C ₁(x ₁ –x ₀)² + C ₂(x ₂ –x ₀)².

Заменяя разности в скобках их выражениями через шаг таблицы, получаем систему уравнений:

Решение имеет вид: С 0 = – 3 / (2 h); C 1 = 4 / (2 h); C 2 = – 1 / (2 h).

Следовательно,

Найдем погрешность этой формулы.

При y= (x–x ₀)³ .

Тогда , а R_y=2h ² y ⁽²⁾(x) / 6 = h ² y ⁽²⁾(x) / 3.