![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Итак, при уменьшении шага h погрешность аппроксимации (то есть погрешность метода) уменьшается. Но погрешность решения включает в себя не только погрешность метода, но и погрешность исходных данных, и вычислительную погрешность (см. п.1.1).
Численное дифференцирование относится к таким задачам, в которых погрешность, возникающая при вычислении разностных отношений, может неограниченно возрастать при стремлении шага сетки h к нулю. Поэтому операцию вычисления разностных отношений называют некорректной.
Рассмотрим причину некорректности на примере вычисления разностного отношения
y¢i » (yi–yi –1) /h,
представляющего собой формулу левых разностей. Погрешность аппроксимации первой производной составляет
R = M 2 h/ 2,
то есть прямо пропорциональна шагу в первой степени.
С другой стороны, значения функций yi и yi– 1 вычисляются, вообще говоря, с некоторой погрешностью, то есть
.
Поэтому реально мы найдем
.
Пусть | ei | £ e; | ei– 1| £ e, где e – верхняя грань погрешностей. Тогда получается, что абсолютную погрешность производной y¢i можно оценить по формуле
a = 2 e /h.
Итак, если перейти к обозначениям п.1.1, то R º e 2, а a º e 3. Следовательно, при h® 0 погрешность метода e 2®0, а вычислительная погрешность e 3 ® ¥ (см. рис.3.1).
Рис.3.1 – Ошибка численного дифференцирования
Суммарная же погрешность eS = M 2 h/ 2 + 2 e /h (пунктирная линия) может убывать при уменьшении шага лишь до некоторого предельного значения hопт.
Таким образом, если нет возможности менять величину e, то вычисления производной надо проводить не с произвольным шагом h, а с шагом, удовлетворяющим условию
h» hопт, где hопт =2 .
Отметим, что при вычислении производных более высокого порядка, когда в знаменатель входит hk (k> 1 ), влияние погрешности в определении yi сказывается еще больше.
3.5 ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ: ПОНЯТИЕ
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 586 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!