Рядов Тейлора

Пусть функция y=f (x) задана таблично, то есть

y_k = f (x_k), …, k= 0, 1 ,..., n.

Запишем ряд Тейлора

при х=х ₁, D х= – h, ограничившись первыми двумя членами:

или, в других обозначениях,

.

Отсюда получаем формулу левых разностей

, (3.1)

где = h^pj (х) +o (h^{p+ 1}) – погрешность аппроксимации: первый член называется главным членом погрешности, p – порядок аппроксимации производной. В данном случае h =1, таким образом, формула имеет первый порядок аппроксимации.

Если положить х=х ₁, а D х=h, то получается другая формула численного дифференцирования – формула правых разностей, тоже имеющая первый порядок аппроксимации:

. (3.2)

Если ограничиться четырьмя членами разложения, то для D х=h и D х= – h соответственно, можно записать

При вычитании получается формула центральных разностей второго порядка аппроксимации:

(3.3)

При сложении получается формула численного дифференцирования для второй производной со вторым порядком аппроксимации:

. (3.4)

Аналогично можно получить аппроксимации производных более высокого порядка и оценку их погрешности. Но этот способ неудобен для практического использования, так как плохо алгоритмизируется и трудоемок.