Теорема о ранге матрицы . Базисный минор

Рассмотрим n матриц-столбцов (строк)

и их сумму

,

которая называется линейной комбинацией матриц-столбцов, а числа - коэффициентами этой комбинации.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.Матрицы-столбцы называются линейно-зависимыми, если существуют действительные числа такие, что

=0, (1)

причем

ПРИМЕР 1. Матрицы столбцы

линейно зависимы, так как

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.Матрицы-столбцы называются линейно-независимыми, если существуют действительные числа такие, что

¹0, (6)

причем

ПРИМЕР 2. Матрицы столбцы

.

Т е о р е м а. Если ранг матрицы A равен r, то:

а) она имеет r независимых столбцов и r независимых строк, которые называются базисными;

б) любой столбец (строка) этой матрицы выражается в виде линейной комбинации базисных столбцов (строк).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дана матрица

ранг которой равен r. Следовательно у матрицы A существует хотя бы один минор порядка r отличный от нуля, который будем называть базисным, а столбцы и строки, из которых он составлен - базисными столбцами и строками матрицы. Введем обозначение для столбцов матрицы A:

.

Предположим для определенности, что базисный минор матрицы A расположен в левом верхнем углу и обозначим его через

.

Тогда базисными столбцами будут . Далее предположим, что эти столбцы линейно зависимы, то есть существуют числа не все равные нулю, такие что:

=0,

или

Пусть . Умножим первый столбец минора на и прибавим к нему остальные столбцы, умноженные соответственно на l₂ , l₃,...,l_n:

Последнее равенство невозможно, так как Значит предположение о линейной зависимости базисных столбцов неверно. Следовательно, они линейно независимы.

Построим теперь определитель (r +1)-го порядка приписав справа к базисному минору любой столбец матрицы A, а снизу любую строку этой матрицы:

Если или i, то имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, поэтому . Если k > r и i > r, то - минор порядка (r+1) матрицы A и он равен нулю (ранг матрицы A равен r). Следовательно, во всех случаях . Разложим этот определитель по элементам последней строки:

.

Алгебраические дополнения не зависят от того, какая i-я строка приписана в снизу, так как алгебраические дополнения получаются вычеркиванием этой строки. Обозначим эти алгебраические дополнения соответственно символами a₁, a₂,..., a_r, a_k. Беря в качестве i -й строки первую, затем вторую и т.д. строки матрицы A, получим из последнего равенства:

или

где столбцы матрицы A. Так как , то, введя обозначения получим окончательно то есть любой столбец матрицы A есть линейная комбинация базисных столбцов, что и требовалось доказать.

ПРИМЕР. Выяснить, является ли система векторов и линейно зависимой или линейно независимой.

ÑЗапишем матрицу A, столбцами которой являются векторы и

Далее вычислим ранг этой матрицы. Имеем , Следовательно, rankA=2. По теореме о базисном миноре исходная система векторов и линейно зависима. Так как минор второго порядка отличен от нуля, то он может быть принят за базисный минором, а векторы и образуют базис исходной системы векторов.