 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Правила его вычисления
|
|
Линейные операции над матрицами
К линейным операциям над матрицами относятся: сложение, вычитание и умножение матриц на числа.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Суммой матриц A и B размеромm´n называется матрица С того же размера, элементы которой 
равны сумме соответствующих элементов aij и bij матриц A и B, то есть C=A+B или
.
Операции сложения матриц коммутативные и ассоциативные, то есть
а) 
, б) 
,
в) 
, г) 
- нулевая матрица).
Разностью двух матриц A и B одного и того же размера 
называется матрица C того же размера, элементы которой равны разности соответствующих элементов aij и bij матриц A и B, то есть 
= aij - bij или
С= 
ПРИМЕР. Найти A± B, где
.
Имеем
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Произведением матрицы A размером m´n на числоa называется матрица, элементы которой получаются умножением всех элементов матрицы A на число a. Эта операция обозначается 
C=a ·A = 
.
Произведение матрицы A на число a подчиняется следующим законам:
а) 
б) 
в), в). 
.
ПРИМЕР. Найти 2·A, где A= 
.
Имеем
2 ·A= 
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Произведением матрицы A размером m ´ n и матрицы B размером п ´ p называется матрица C размером m ´ p, если
.
Из определения следует, что операция умножения матриц имеет место тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. При этом элемент матрицы С вычисляется по следующему правилу: чтобы получить элемент матрицы, стоящей в i-й строке и j-ом столбце, нужно элементы i-й строки первой матрицы A умножить на соответствующие элементы j-го столбца второй B и полученные произведения сложить.
ПРИМЕР. Найти A · B, где A = 
, B= 
.
Имеем
A·B = · =
Если операция произведения матриц выполнима, то она подчиняется следующим условиям:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
Следует отметить, что операция произведения двух матриц не обладает свойством переместительности, то есть AB ¹ BA.
Выражение вида An= называется n-й степенью матрицы А. Если A -квадратная матрица, а n - целое положительное число, то An= A ·A ·A ·... ·A.
§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
ПРАВИЛА ЕГО ВЫЧИСЛЕНИЯ
Пусть А - произвольная квадратная матрица порядка n
A = 
.
С матрицей А связно понятие определителя (детерминанта), который принято обозначать так | A | или det A:
| A | = det A = 
. (1)
Определитель матрицы есть число, вычисляемое по некоторым правилам, которые мы рассмотрим ниже.
Во-первых, следует отметить, что в определителе различают две диагонали: главную и побочную. Главная диагональ (так же, как и в квадратной матрице) состоит из элементов aii, где i=1, 2, 3,..., n. Побочная диагональ проходит перпендикулярно главной из верхнего правого угла определителя в нижний левый. Порядокопределителя соответствует порядку матрицы, определителем которой он является.
Если порядок матрицы равен единице, то есть эта матрица состоит из одного элемента aij, то определителем первого порядка, соответствующем такой матрице, называется число, равное этому элементу.
Пусть дана квадратная матрица второго порядка:
.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 172 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
