Формула (4) называется формулой разложения определителя по элементам i-й строки, а формула (5) - разложением определителя по элементам j-го столбца

ПРИМЕР 3. Вычислить определитель , разложив его по элементам 1-й строки.

Согласно формуле (4) имеем

.

Так как

то

.

ПРИМЕР 4. Вычислить определитель , разложив его по элементам 2-го столбца.

По формуле (5) получаем

.

Далее, находим

Откуда

.

Т е о р е м а 2 (следствие из теоремы 1). Если все элементы i-й строки (столбца) определителя ½ A ½, кроме одного, например, a_ik, равны нулю, то определитель равен произведению элемента a_ik на его алгебраическое дополнение:

ПРИМЕР 4. Вычислить определитель четвертого порядка

разложив его по элементам 2-го столбца.

Так как то по формуле (5) получаем

Откуда, снова разлагая полученный определитель третьего порядка по элементам 2-го столбца, находим

Т е о р е м а 3. Сумма произведений элементов какой-либо строки или столбца определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельной строки (или столбца) равна нулю.

Так, для определителя третьего порядка

на основании теоремы 3, справедливы равенства: