Двух треугольных матриц

Рассмотрим квадратную, треугольную матрицу , у которой элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю:

.

Легко заметить, что определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов,

.

Если квадратная матрица неособенная, имеет отличные от нуля диагональные миноры (так называются миноры определителя матрицы, у которых на главных диагоналях стоят диагональные элементы матрицы), то есть

то ее можно разложить на произведение двух треугольных матриц (верхний и нижний). При этом диагональные элементы одной из треугольных матриц заранее можно задать отличные от нуля (например, положить их равными единице).

Пусть

,

где C - нижняя треугольная матрица, а B - верхняя треугольная матрица. Укажем правило преобразования матрицы A в произведение двух треугольных для случая с_ii= 1 . В этом случае, в первую очередь, нужно вычислять элементы строк матрицы B по формулам

а затем элементы столбцов матрицы C по формулам

.

Матрица A была представлена в виде C×B двух треугольных матриц, где C -нижняя, а B - верхняя треугольная матрица. Однако такой порядок сомножителей не является обязательным. Можно представить матрицу A в виде произведения B×C и получить аналогичные формулы для элементов треугольных матриц В и С.

§5. КЛЕТОЧНЫЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

При вычислении операции с матрицами высоких порядков целесообразно разбить их предварительно на клетки (блоки) с помощью горизонтальных и вертикальных перегородок, идущих вдоль и поперек всей матрицы. Таким образом, каждая матрица разбивается на матрицы меньших порядков, вычислительные действия над которыми производить значительно проще.

Матрица, разбитая на клетки называется клеточной или блочной.

Например,

1) Матрица 4-го порядка A разбита на четыре клетки:

= =

где клетками являются квадратные матрицы:

2) Матрица n-го порядка C разбита на четыре клетки

,

где - квадратная матрица -го порядка:

- вектор-столбец -го порядка;

- вектор-строка -го порядка;

C_nn - число.

Такое разбиение на клетки называется окаймлением, а матрицы - окаймленными.

§6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАНГА МАТРИЦЫ И ОСНОВНЫЕ