Определитель транспонированной матрицы

При транспонировании матрицы её определитель не меняется, т. е. . Отсюда следует, что любое утверждение, справедливое для столбцов, будет справедливо и для строк определителя матрицы.

Доказательство.

Свойства определителя.

5.

Свойства определителя:

1) При перестановке двух строк матрицы её определитель меняет знак на противоположный;

Доказательство.

2) Если все элементы какой-либо строки матрицы умножить на какое-то число, то её определить умножится на это число;

Доказательство.

3) Если какая-либо строка матрицы представляет собой сумму двух строк, то определитель этой матрицы можно представить в виде суммы двух определителей.

Доказательство.

4) Если матрица имеет две одинаковые строки или содержит строку, состоящую из нулей или соответствующие элементы двух её строк пропорциональны, то определитель матрицы равен нулю.

5) Если к одной строке прибавить соответственно другую строку, умноженную на некоторое число, то определитель не изменится.