Метод простои итерации применительно к СЛАУ

Рассмотрим систему:

Для неё итерационное вычисление будет выглядеть так:

Сходимость метода будет осуществлять

Следует отметить, что для оценки сходимости вычисляется не определитель матрицы, а норма матрицы. Поэтому в данном случае поставлены двойные вертикальные черты, а не одинарные.

50) Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений: метод половинного деления, метод касательных, метод итераций.

Метод половинного деления (дихотомия)

Пусть мы нашли такие точки a и b что f(a)f(b)£0, т. е. на отрезке [a,b] лежит не менее одного корня уравнения. Найдем середину отрезка xc=(a+b)/2 и вычислим f(xc). Из двух половин отрезка выберем ту, для которой f(xc)f(a или b)£0, т.е. отрезок на котором функция меняет знак. Затем новый отрезок опять делим пополам и выберем ту половину, на концах которой функция имеет разные знаки, и т. д. (рис. 1).

Если требуется найти корень с точностью e, то продолжаем деление пополам до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2e. Перечислим недостатки метода.

1. Для начала расчета надо найти отрезок, на котором функция меняет знак.

2. Если в этом отрезке несколько корней, то заранее неизвестно, к какому из них сойдется процесс (хотя к одному из них сойдется).

3. Метод неприменим к корням четной кратности.

4. Для корней высокой нечетной кратности он сходится, но менее точен и хуже устойчив к ошибкам округления, возникающим при вычислении f(x).

5. Наконец, на системы уравнений дихотомия не обобщается.

Метод касательных (Ньютона)

Метод Ньютона называют также методом касательных и методом линеаризации. Суть метода заключается в том, что в точке приближения к функции строится касательная (Рис. 3). Следующая точка приближения – это точка пересечения полученной прямой с осью Ox. Процесс продолжается вплоть до достижения заданной точности.

Из рисунка очень легко получить итерационную формулу метода, используя геометрический смысл производной. Если f(x) имеет непрерывную производную f’(x)≠0, тогда получим

Аналогично получаем x2, x3, и т.д. Таким образом, можем записать общую формулу: