Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу 2 страница

17) Формула Грина.

Формула Остроградского – Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом и двойным интегралом, т.е. дает выражение интеграла по замкнутому контуру через двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром.

Пусть — положительно ориентированная кусочно-гладкая замкнутая кривая на плоскости, а — область, ограниченная кривой . Если функции , определены в области и имеют непрерывные частные производные , , то

Будем считать, что рассматриваемая область односвязная, т.е. в ней нет исключенных участков.

y

y = y₂(x)

D

A

C

B y= y₁(x)

0 x₁ x₂ x

Если замкнутый контур имеет вид, показанный на рисунке, то криволинейный интеграл по контуру L можно записать в виде:

,

Если участки АВ и CD контура принять за произвольные кривые, то, проведя аналогичные преобразования, получим формулу для контура произвольной формы:

Эта формула называется формулой Остроградского – Грина.

Формула Остроградского – Грина справедлива и в случае многосвязной области, т.е. области, внутри которой есть исключенные участки. В этом случае правая часть формулы будет представлять собой сумму интегралов по внешнему контуру области и интегралов по контурам всех исключенных участков, причем каждый из этих контуров интегрируется в таком направлении, чтобы область D все время оставалась по левую сторону линии обхода.

18) Теорема о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

. Для того, чтобы криволинейный интеграл

в некоторой области D плоскости хоу не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в этой области, был равен нулю.

Доказательство

· Достаточность. Пусть интеграл

,

где L - любой замкнутый контур, принадлежащий области D.

Покажем, что этот интеграл не зависит от пути интегрирования. Действительно, пусть А и В - две точки области D. Соединим их двумя различными, произвольно выбранными кривыми АтВ и АпВ, лежащими в области D (рис. 8). Покажем, что

. Дуги АтВ и АпВ образуют замкнутый контур АтВnA. По свойствам (3 и 1) криволинейных интегралов

.Следовательно, , или ,

т. е. криволинейный интеграл не зависит о пути интегрирования.· Необходимость. Пусть в области D криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Покажем, что интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в этой области, равен нулю.

Действительно, рассмотрим произвольный замкнутый контур, лежащий в области D, и возьмём на нём две произвольные точки А и В Тогда , т.к. по условию .

Итак, интеграл по любому замкнутому контуру L, лежащему в области D, равен нулю. Лемма доказана.

Т. Пусть функции Р(х, у) и Q(x, y) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в области D, ограниченной одним замкнутым контуром. Тогда для того, чтобы криволинейный интеграл

(15)

не зависел от линии интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D выполнялось равенство

(16)

Доказательство

· Достаточность. Пусть равенство (16) выполняется в области D. Докажем, что криволинейный интеграл (15) по любому замкнутому контуру L, лежащему в области D, равен нулю. Возьмём произвольный замкнутый контур L*, ограничивающий область D*, целиком лежащей внутри области D, и применим к нему формулу Грина

Так как по условию , то двойной интеграл равен рулю. Следовательно, равен нулю и криволинейный интеграл по контуру L*, что и требовалось доказать.

· Необходимость. Пусть интеграл

не зависит от пути интегрирования. Надо доказать, что выполняется равенство (16), что, в свою очередь, вызывает равенство нулю двойного интеграла (по теореме Грина)

(17)

Воспользуемся методом доказательства “от противного”. Предположим, что равенства (16) и (17) не выполняются, т.е. в области D, ограниченной контуром L, нашлась какая-то точка М, в которой

(18)

Пусть для определённости эта разность положительна. Тогда, в силу непрерывности частных производных, эта разность знакопостоянна в некоторой окрестности точки М и сохраняет тот же знак, что и в самой точке. Обозначим эту окрестность D*, а ограничивающий её контур есть L* (см рис. 9). Составим двойной интеграл по области D* от разности (18). По свойству (cм. гл. 12) интеграл сохранит знак подынтегральной функции

По формуле Грина тогда и линейный интеграл (15) будет иметь этот же знак:

Но это обозначает, что криволинейный интеграл по замкнутому контуру отличен от нуля, т.е. зависит от пути интегрирования, что противоречит исходному условию. Отсюда следует, что наше предположение неверно. Теорема доказана.

Заметим, что дифференциальное выражение

P(x, y)dx+Q(x, y)dy (19)

напоминает форму полного дифференциала первого порядка функции двух переменных u(x, y)

.

Выясним условия, при которых возможно совпадение этих формул, т.е. выполнение равенства

19) Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

Уравнение вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция U(x,y), такая что dU=P(x,y)dx+Q(x,y)dy. Для того, чтобы такая функция существовала необходимо и достаточно, чтобы Если такая функция U существует, то её полный дифференциал имеет вид . Кроме того, . , . Поэтому нам нужно соблюдение условия.
Решением уравнения в полных дифференциалах будет следующий интеграл:
Ввиду того, что dU=0, U=const. По аналогии с определёнными интегралами: .
Интеграл от U берётся по любой кривой, соединяющей точки и . По этому удобнее взять ломаную ABC, где AB - отрезок, соединяющий , BC - отрезок, соединяющий . В этом случае интеграл будет выглядеть наиболее просто:

20) Приложения криволинейных интегралов.

С помощью криволинейных интегралов вычисляются

· Масса кривой;

· Центр масс и моменты инерции кривой;

· Работа при перемещении тела в силовом поле;

· Магнитное поле вокруг проводника с током (Закон Ампера);

· Электромагнитная индукция в замкнутом контуре при изменении магнитного потока (Закон Фарадея).

Масса кривой

Предположим, что кусок проволоки описывается некоторой пространственной кривой C. Пусть масса распределена вдоль этой кривой с плотностью ρ (x,y,z). Тогда общая масса кривой выражается через криволинейный интеграл первого рода

Центр масс и моменты инерции кривой

Пусть снова кусок проволоки описывается некоторой кривой C, а распределение массы вдоль кривой задано непрерывной функцией плотности ρ (x,y,z). Тогда координаты центра масс кривой определяются формулами

где

− так называемые моменты первого порядка.

Моменты инерции относительно осей Ox, Oy и Oz определяются формулами

Работа поля

Работа при перемещении тела в силовом поле вдоль кривой C выражается через криволинейный интеграл второго рода

где − сила, действующая на тело, − единичный касательный вектор (рисунок 1). Обозначение означает скалярное произведение векторов и .

Закон Ампера

Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией вдоль замкнутого контура C пропорционален полному току, протекающему через область, ограниченную контуром C (рисунок 2). Это выражается формулой

где - магнитная проницаемость ваккуума, равная Н/м.

Закон Фарадея

Электродвижущая сила ε, наведенная в замкнутом контуре C, равна скорости изменения магнитного потока ψ, проходящего через данный контур (рисунок 3).

21) Площадь поверхности и ее вычисление.

22)Определение, свойства и вычисление поверхностных интегралов

1-го рода.

Поверхностные интегралы первого рода.

z

DS_i

y

D

x

Поверхностный интеграл является таким же обобщением двойного интеграла, каким криволинейный интеграл является по отношению к определенному интегралу.

Рассмотрим поверхность в пространстве, которая произвольно разбита на n частей.

Рассмотрим произведение значения некоторой функции F в произвольной точке с координатами (a, b, g) на площадь частичного участка DS_i, содержащего эту точку.

Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения l поверхности существует конечный предел интегральных сумм, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода или интегралом по площади поверхности.

Свойства поверхностного интеграла первого рода.

Поверхностные интегралы первого рода обладают следующими свойствами:

1) S – площадь поверхности.

2)

3)

4) Если поверхность разделена на части S₁ и S₂, то

5) Если , то

6)

7) Теорема о среднем.

Если функция F(x, y, z) непрерывна в любой точке поверхности S, то существует точка (a, b, g) такая, что

S – площадь поверхности.

Проведя рассуждения, аналогичные тем, которые использовались при нахождении криволинейного интеграла, получим формулу для вычисления поверхностного интеграла первого рода через двойной интеграл по по площади проекции поверхности на плоскость XOY.

23) Определение, свойства и вычисление поверхностных интегралов 2-го рода.

Если на поверхности S есть хотя бы одна точка и хотя бы один не пересекающий границу поверхности контур, при обходе по которому направление нормали в точке меняется на противоположное, то такая поверхность называется односторонней.

Если при этих условиях направление нормали не меняется, то поверхность называется двухсторонней.

Будем считать положительным направлением обхода контура L, принадлежащего поверхности, такое направление, при движении по которому по выбранной стороне поверхности сама поверхность остается слева.

Двухсторонняя поверхность с установленным положительным направлением обхода называется ориентированной поверхностью.

Рассмотрим в пространстве XYZ ограниченную двухстороннюю поверхность S, состоящую из конечного числа кусков, каждый из которых задан либо уравнением вида z = f(x, y), либо является цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ.

Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения поверхности S интегральные суммы, составленные как суммы произведений значений некоторой функции на площадь частичной поверхности, имеют конечный предел, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода.

- поверхностный интеграл второго рода.

Свойства поверхностного интеграла второго рода аналогичны свойствам поверхностного интеграла первого рода.

Т.е. любой поверхностный интеграл второго рода меняет знак при перемене стороны поверхности, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, поверхностный интеграл от суммы двух и более функций равен сумме поверхностных интегралов от этих функций, если поверхность разбита на конечное число частичных поверхностей, интеграл по всей поверхности равен сумме интегралов по частичным поверхностям.

Если S- цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси OZ, то . В случае, если образующие поверхности параллельны осям OX и OY, то равны нулю соответствующие составляющие поверхностного интеграла второго рода.

Вычисление поверхностного интеграла второго рода сводится к вычислению соответствующих двойных интегралов. 1)метод проектирования на все координатные плоскости 2) метод проектирования на 1 координатную плоскость.

Связь поверхностных интегралов первого и второго рода.

Поверхностные интегралы первого и второго рода связаны друг с другом соотношением:

В этой формуле cosa, cosb, cosg - направляющие косинусы нормали к поверхности S в выбранную сторону поверхности.

24) Теорема Остроградского.

Формула Гаусса – Остроградского является аналогом формулы Грина – Остроградского. Эта формула связывает поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.

Для вывода формулы Гаусса – Остроградского надо воспользоваться рассуждениями, подобными тем, которые использовались при нахождении формулы Грина – Остроградского.

Рассматривается сначала поверхность, ограниченная сверху и снизу некоторыми поверхностями, заданными известными уравнениями, а сбоку ограниченную цилиндрической поверхностью. Затем рассматривается вариант когда поверхность ограничена цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными дум доугим координатным осям.

После этого полученные результаты обобщаются, приводя к формуле Гаусса – Остроградского:

Отметим, что эта формула применима для вычисления поверхностных интегралов по замкнутой поверхности.

На практике формулу Гаусса – Остроградского можно применять для вычисления объема тел, если известна поверхность, ограничивающая это тело.

Имеют место формулы:

25) Формула Стокса.

Формула Стокса связывает криволинейные интегралы второго рода с поверхностными интегралами второго рода. Пусть в пространстве задана некоторая поверхность S. L – непрерывный кусочно – гладкий контур поверхности S.

Предположим, что функции P,Q и R непрерывны на поверхности S вместе со своими частными производными первого порядка. Применим формулу, выражающую криволинейный интеграл через определенный.

Введем обозначения: Применив формулу Грина – Остроградского, можно заменить криволинейный интеграл равным ему двойным интегралом. После преобразований устанавливается следуюшее соответствие между криволинейным и поверхностным интегралом:

эта формула и называется формула Стокса.

26) Дивергенция и ротор.

Вектор , компоненты которого равны соответственно равны

называется вихрем или ротором вектора и обозначается:

Выражение называется дивергенцией вектора (дивергенцией векторной функции) и обозначается

Таким образом, формулу Гаусса – Остроградского может быть записана в виде:

или

т.е. интеграл от дивергенции векторного поля по объему равен потоку вектора через поверхность, ограниченную этим объемом.

Определение. Векторное поле называется соленоидальным (трубчатым), если div =0.

C помощью описанного выше оператора Гамильтона можно представить определенные нами понятия следующим образом:

Выражение называется оператором Лапласа.

Справедливы следующие соотношения:

Справедливость этих равенств легко проверить непосредственной подстановкой.

Теперь рассмотрим примеры применения рассмотренных выше понятий.

27) Скалярные поля. Производная по направлению и градиент. Их свойства.

Если каждой точке М некоторой области V пространства соответствует значение некоторой скалярной величины u(M), то говорят, что в области V задано скалярное поле u(M). Поле называется стационарным, если оно не меняется во времени; мы будем изучать только стационарные поля. Вид функции u(M) (её аналитическое выражение) меняется в зависимости от того, как введена координатная система (где расположено начало системы координат, куда направлены оси, каков масштаб измерения расстояний и т.д.), однако сущность, которую описывают эти разные выражения, одна и та же. Произвол в задании системы координат приводит к необходимости различать величины, не зависящие от конкретной системы (инвариантные относительно системы координат), и величины, принимающие разные значения в разных системах (неинвариантные величины). Мы будем называть поле u(M) гладким, если функция u(M) имеет непрерывные частные производные . Значения этих производных в точке М зависят от системы координат, однако составленная с их помощью линейная комбинация базисных ортов системы образует градиент поля u(M) и инвариантна относительно системы координат. Вектор направлен в сторону роста значений поля u(M) по направлению наибольшей скорости роста; длина равна скорости роста в этом направлении. . Формально производная по направлению определяется как , где в зависимости от того, имеют ли ось и вектор одинаковые или противоположные направления. Производная по направлению выражается через градиент формулой

,

где - орт направления , - направляющие косинусы этого направления.

Градиент поля имеет следующие дифференциальные свойства

1. , или ;

2. , или ;

3. , или ;

4. , или ,