Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу 5 страница

Если - правильная точка функции , то .

Теорема. Для того чтобы была правильной точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы функции была ограниченной в окрестности точки .

Следствие. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности правильной точки представляет собой ряд Тейлора и не содержит членов с отрицательными степенями.

Следствие.Теорема Лиувилля. Любая целая, ограниченная во всей расширенной плоскости функция, есть константа.

Изолированная особая точка а функции f (z) называется

а) устранимой особой точкой, если существует конечный предел

б) полюсом, если

в) существенно особой точкой, если не существует.

Пусть функция f (z) регулярна в точке а (и, следовательно, в некоторой окрестности этой точки). Число т, т 1, называется кратностью (или порядком) нуля функции f (z) в точке а, если выполнены условия

f (a)=f (a)=…=f ^(m-1)(a)=0,

f ^(m)(a) 0.

При т=1 точка а называется простым нулем функции f (z), при m>1-кратным.

Порядком (или кратностью) полюса функции g(z) в точке а называется кратность нуля в точке а регулярной функции

Если а – простой нуль f (z), то точка а называется простым полюсом функции g(z).

Тип изолированной особой точки однозначного характера определяется видом лорановского разложения функции в проколотой окрестности этой точки.

1. Для того чтобы точка а была устранимой особой точкой функции f (z), необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение этой функции в окрестности точки а не содержало главной части.

2. Для того чтобы точка а была полюсом функции f (z), необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения функции f (z) в окрестности этой точки содержала лишь конечное число членов (причем полюсом порядка т 1, если главная часть имеет вид

, где с_т 0.

3. Точка а тогда и только тогда является существенно особой, когда главная часть лорановского разложения функции f (z) в окрестности этой точки содержит бесконечно много отличных от нуля членов.

Разложение функции f (z) в окрестности бесконечно удаленной точки в ряд Лорана имеет вид

44) Вычетом функции f(z) в точке z₀ называется коэффициент при z^-1 в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки.

Эквивалентное определение: вычетом функции f(z) в точке z₀ называется . В самом деле, коэффициент ряда Лорана равен . Поэтому .

Вычисление вычетов в точке конечной плоскости.

Если z₀ – правильная особая точка, то ряд Лорана превращается в ряд Тейлора, в котором нет отрицательных степеней , поэтому =0.

Если z₀ – полюс первого порядка, то разложение в ряд Лорана в окрестности этой точки не содержит степеней , ниже, чем –1 и содержит степень -1. Разложение выглядит так.

. Умножим обе части на .

Перейдем к пределу при , чтобы обратились в нуль все слагаемые в правой части, содержащие целые степени .

- формула для вычета функции в полюсе первого порядка.

В том случае, когда z₀ – полюс первого порядка функции вида

, можно получить удобную в вычислениях формулу для вычета.

= - формула для вычета функции в полюсе первого порядка. Здесь использованы условия .

формулу для вычета функции в полюсе n – ого порядка:

В том случае, когда точка - существенно особая точка, вычет в ней вычисляется единственным способом – непосредственным разложением функции в ряд Лорана и вычислением коэффициента при –1 степени.

Вычетом функции в бесконечно удаленной точке называется коэффициент , (взятый со знаком минус коэффициент при –1 ой степени в разложении в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки).

45) Основная теорема о вычетах.

Общая теорема о вычетах.

g g2 z2 g1 z1 Пусть функция - аналитическая в области и на ее границе – кусочно-гладком контуре g за исключением конечного числа изолированных особых точек , лежащих внутри области . Тогда

Доказательство. По интегральной теореме Коши для многосвязной области . Вычислим интеграл . Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности точки и подставим в интеграл. По равномерной сходимости степенного ряда внутри круга сходимости, проведем почленное интегрирование и используем полученный ранее результат = .

= .

Тогда = .

Теорема. Сумма вычетов функции по всей расширенной плоскости равна нулю.

Доказательство. Выберем контур так, чтобы все особые точки функции лежали внутри контура. Тогда при обходе контура в положительном направлении надо учитывать

особые точки, попавшие внутрь контура, т.е. все особые точки конечной плоскости. По общей теореме о вычетах . С другой стороны, при обходе контура в отрицательном направлении мы должны учитывать только бесконечно удаленную точку и интеграл получится тем же, но со знаком «минус» (свойство интеграла). Поэтому - . Складывая эти интегралы, получим

.

Следствие. Сумма вычетов функции по всей конечной плоскости равна вычету функции в бесконечно удаленной точке, взятому со знаком «минус».

Доказательство. По предыдущей теореме . Отсюда .

46) Бесконечно удаленные особые точки. Теорема о вычетах в расширенной комплексной плоскости.

Разложение в ряд Лорана в окрестности точки , т.е. в области представляет собой ряд Лорана по степеням z: , в котором главная часть, определяющая особенности функции, содержит положительные степени, а правильная часть – отрицательные степени.

Если разложение в ряд Лорана в окрестности точки , т.е. в области :

1 Не содержит положительных степеней, то - правильная точка .

2 Содержит конечное число положительных степеней, то - полюс , причем наивысшая положительная степень определяет порядок полюса.

3 Содержит бесконечное количество членов с положительными степенями, то - существенно особая точка .

Вторая теорема о вычетах - Пусть f (z) регулярна в расширенной комплексной плоскости ℂ за исключениемконечного числа изолированных особых точек, считая точку z = ∞. Тогда:

47)Применение вычетов для вычисления несобственных интегралов.

Теорема. Пусть функция - аналитическая в верхней полуплоскости () за исключением конечного числа особых точек , лежащих в верхней полуплоскости непрерывна на действительной оси, удовлетворяет (при больших |z|) неравенству . Тогда

Доказательство. Выберем контур полуокружностью радиуса , лежащей в верхней полуплоскости, с основанием – отрезком действительной оси, - достаточно велико, чтобы все особые точки лежали внутри контура. По общей теореме Коши о вычетах =

. Оценим . Поэтому . Устремляя , имеем .

48)Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений: LU-разложение матрицы, метод квадратного корня.

Метод решения СЛАУ называют точным (прямым), если он позволяет получить решение после выполнения конечного числа элементарных операций. К прямым методам относят метод Крамера, метод Гаусса, метод Холецкого и другие. Основным недостатком прямых методов является то, что для нахождения решения необходимо выполнить большое число операций.

Теперь рассмотрим второй точный метод решения СЛАУ - метод Холецкого (метод квадратных корней).

Он применяется в случае, если матрица системы является симметричной и положительно определенной. В основе метода лежит алгоритм специального LU-разложения матрицы А, где L - нижняя треугольная матрица, а U - верхняя треугольная матрица (если главный минор не равен 0, то существует разложение, причем оно единственно).

Разбиение матрицы А= на верхнюю и нижнюю к примеру будет выглядеть так

L = и U = .

В результате преобразований матрица А приводится к виду A= (где - транспонированная матрица). Если разложение получено, то решение системы сводится к последовательному решению двух систем с треугольными матрицами: и . Для нахождения коэффициентов матрицы L неизвестные коэффициенты матрицы приравнивают соответствующим элементам матрицы A. Затем последовательно находят требуемые коэффициенты по формулам:

, i = 2, 3,..., m,

, i = 3, 4,..., m,

, i = k+1,..., m,

49) Итеративные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.