Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу

Тогда - двойной интеграл Фурье.

Окончательно получаем:

- представление функции f(x) интегралом Фурье.

Двойной интеграл Фурье для функции f(x) можно представить в комплексной форме

Пусть функция f(x) на каждом отрезке [-l,l], где l – любое число, кусочно – гладкая или кусочно – монотонная, кроме того, f(x) – абсолютно интегрируемая функция, т.е. сходится несобственный интеграл

Тогда функция f(x) разлагается в ряд Фурье:

Если подставить коэффициенты в формулу для f(x), получим:

Переходя к пределу при l®¥, можно доказать, что и

Обозначим

При l®¥ Du_n ®0.