Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу 1 страница

Тогда - двойной интеграл Фурье.

Окончательно получаем:

- представление функции f(x) интегралом Фурье.

Двойной интеграл Фурье для функции f(x) можно представить в комплексной форме:

9) Преобразования Фурье.

Определение. Если f(x) – любая абсолютно интегрируемая на всей числовой оси функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на каждом отрезке, то функция

называется преобразованием Фурье функции f(x).

Функция F(u) называется также спектральной характеристикой функции f(x).

Если f(x) – функция, представимая интегралом Фурье, то можно записать:

Это равенство называется обратным преобразованием Фурье

Интегралы и называются соответственно косинус - преобразование Фурье и синус – преобразование Фурье.

Косинус – преобразование Фурье будет преобразованием Фурье для четных функций, синус – преобразование – для нечетных.

Преобразование Фурье применяется в функциональном анализе, гармоническом анализе, операционном исчислении, теории линейных систем и др.

10) Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла. Двойные интегралы, их свойства.

Задачи, приводящие к понятию двойного и тройного интеграла

Задача о вычислении массы неоднородного тела T по известной объемной плотности ρ(M) этого тела естественным образом приводит нас к понятию тройного интеграла.

Для вычисления массы указанного тела T разобьем его на достаточно малые участки T₁, T₂,..., T_n. Приближенно можно считать объемную плотность ρ(M) каждого участка T_k постоянной и равной ρ(M_k), где M_k - некоторая точка участка T_k. В таком случае масса каждого участка T_k будет приближенно равна ρ(M_k) · v_k, где v_k - объем участка T_k.

Приближенное значение массы всего тела T будет равно сумме

Точное значение массы естественно определить как предел указанной суммы при неограниченном уменьшении каждого участка T_k. Этот предел и может быть взят за определение тройного интеграла от функции ρ(M_k) по трехмерной области T.

Совершенно аналогично может быть рассмотрена геометрическая задача о вычислении объема так называемого криводонного цилиндра (т. е. объема изображенного на рисунке тела, лежащего под графиком неотрицательной функции z = f(x, y) в некоторой двумерной области D). Эта задача приводит к понятию двойного интеграла от функции f(x, y) по двумерной области D.

В данном разделе излагается теория двойных, тройных и вообще n-кратных интегралов.

Для более эффективного использования аналогии с однократным интегралом сначала введем понятие двойного интеграла для прямоугольника, а лишь затем введем двойной интеграл по произвольной области как с помощью прямолинейного, так и с помощью совершенно произвольного разбиения этой области.

Свойства двойного интеграла

Двойной интеграл обладает следующими свойствами:

1. 1

2. , где k - константа;

3. Если в области R, то ;

4. Если интегрируемая в области D функция f(x, y) удовлетворяет неравенству

m ≤ f(x, y) ≤ M,то

5. Если область D разбита на две области D1 и D2 без общих внутренних точек и функция f(x, y) непрерывна в области D, то

6. где SD – площадь области D

7.. Если функция f(x, y) интегрируема в области D, то и функция |f(x, y)| интегрируема в области D, причем

8 Если f(x; y) — непрерывна на замкнутой области D, то существует M_* D — некая "средняя" точка области:
Доказательство: Если f(x; y) непрерывна на D, то существуют наименьшее m и наибольшее М значения функции f(x; y), т.е. имеем:

то есть число I/S находится между m и М.Но непрерывная функция f(x; y) принимает все промежуточные от m до М значения существует точка M_* D:

11) Задачи, приводящие к понятию тройного интеграла. Тройные интегралы, их свойства.

Пусть множество чисел {x₀, x₁,..., x_m} разбивает отрезок [a, b] на малые интервалы, так что справедливо соотношение

Аналогично построим разбиение отрезка [c, d] вдоль оси Oy и [p, q] вдоль оси Oz:

Сумма Римана функции f (x,y,z) над разбиением имеет вид

Здесь (u_i, v_j, w_k) - некоторая точка в параллелепипеде (x_i−1, x_i)×(y_i−1, y_i)×(z_i−1, z_i), а приращения равны

Основные свойства тройного интеграла

Пусть функции f (x,y,z) и g (x,y,z) интегрируемы в области U. Тогда справедливы следующие свойства:

1.

2.

3. , где k - константа;

4. Если в любой точке области U, то ;

5. Если область U является объединением двух непересекающихся областей U₁ и U₂, то ;

6. Пусть m - наименьшее и M - наибольшее значение непрерывной функции f (x,y,z) в области U. Тогда для тройного интеграла справедлива оценка:

где V - объем области интегрирования U.

7. Теорема о среднем значении тройного интеграла.
Если функция f (x,y,z) непрерывна в области U, то существует точка M₀ U, такая, что

где V - объем области U.

12)Вычисление кратных интегралов повторным интегрированием (в ПДСК).

Теорема 6. Пусть для функции f(x, y) в прямоугольнике R = [a ≤ x ≤ b] × [c ≤ y ≤ d] существует двойной интеграл .

Пусть далее для каждого x из сегмента a ≤ x ≤ b существует однократный интеграл

(12) Тогда существует повторный интеграл и справедливо равенство (13)

Замечание. В теореме 6 можно поменять x и y ролями, т. е. моно предположить существование двойного интеграла и существование для любого y из сегмента c ≤ y ≤ d однократного интеграла

Тогда теорема будет утвердать существование повторного интеграла

и равенство (18)

Теорема 7. Пусть выполнены следующие условия: 1) область D ограничена, замкнута и такова, что любая прямая, параллельная оси Oy, пересекает границу этой области не более чем в двух точках, ординаты которых суть y₁(x) и y₂(x), где y₁(x) ≤ y₂(x) (см. Рис. 1); 2) функция f(x, y) допускает существование двойного интеграла

и существование для любого x однократного интеграла При этих условиях существует повторный интеграл (x₁ и x₂ - наименьшая и наибольшая абсциссы точек области D) и справедливо равенство

(19)

Доказательство. Обозначим через R прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, содержащий область D, а через F(x, y) - функцию, совпадающую с f(x, y) в точках области D и равную нулю в остальных точках R. Для функции F(x, y) в прямоугольнике R выполнены все условия теоремы 7, и, стало быть, справедлива формула (13), которая (с учетом того, что F(x, y) равна нулю вне D и совпадает с f(x, y) в D) переходит в формулу (19). Теорема доказана.

В теореме 7 можно поменять ролями x и y, т. е. можно предположить, что выполнены следующие два условия: 1) область D такова, что любая прямая, параллельная оси Ox, пересекает границу этой области не более чем в двух точках, абсциссы которых x₁(y) и x₂(y), где x₁(y) ≤ x₂(y) (см. Рис. 2); 2) функция f(x, y) допускает существование по области D двойного интеграла и существование для любого y однократного интеграла

При выполнении этих двух условий существует повторный интеграл

(y₁ и y₂ - наименьшая и наибольшая ординаты точек области D) и справедливо равенство (19')

13) Замена переменных в двойных интегралах. Полярная и обобщенная полярная системы координат.

Для вычисления двойного интеграла иногда удобнее перейти в другую систему координат. Это может быть обусловлено формой области интегрирования или сложностью подынтегральной функции. Замена переменных в двойном интеграле описывается формулой где выражение представляет собой так называемый якобиан преобразования , а S − образ области интегрирования R, который можно найти с помощью подстановки в определение области R.

Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат (рисунок 1).

Якобиан такого преобразования имеет вид

Следовательно, дифференциальный элемент в полярных координатах будет равен

Пусть область интегрирования R в полярных координатах определяется следующим образом (рисунок 2):

Тогда двойной интеграл в полярных координатах описывается формулой

Будем называть полярным прямоугольником область интегрирования, показанную на рисунке 3 и удовлетворяющую условиям В этом случае формула замены переменных в двойном интеграле имеет вид

14) Замена переменных в тройных интегралах. Криволинейные координаты (цилиндрические, сферические).

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение.
Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:

Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями:

Предполагается, что выполнены следующие условия:

1. Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными;

2. Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками области U' в пространстве uvw;

3. Якобиан преобразования I (u,v,w), равный

отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U.

Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде:

В приведенном выражении означает абсолютное значение якобиана. В цилиндрических координатах положение точки M(x,y,z) в пространстве Oxyz определяется тремя числами − ρ, φ, z, где ρ − длина радиуса-вектора проекции точки M на плоскость Oxy, φ − угол, образованный этим радиусом-вектором с осью Ox (рисунок 1), z − проекция на ось Oz (ее значение одинаково в декартовых и цилиндрических координатах).

Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями

Здесь предполагается, что

Якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим равен

Тогда формула замены переменных при данном преобразовании имеет вид:

Переход к цилиндрическим координатам упрощает вычисление тройного интеграла в случаях, когда область интегрирования образована цилиндрической поверхностью. Сферическими координатами точки M(x,y,z) называются три числа − ρ, φ, θ, где

ρ − длина радиуса-вектора точки M;
φ − угол, образованный проекцией радиуса-вектора на плоскость Oxy и осью Ox;
θ − угол отклонения радиуса-вектора от положительного направления оси Oz (рисунок 1).

Обратите внимание, что определения ρ, φ в сферических и цилиндрических координатах отличаются друг от друга.

Сферические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями

Якобиан перехода от декартовых координат к сферическим имеет вид:

Раскладывая определитель по второму столбцу, получаем

Соответственно, абсолютное значение якобиана равно

Следовательно, формула замены переменных при преобразовании декартовых координат в сферические имеет вид:

Тройной интеграл удобнее вычислять в сферических координатах, когда область интегрирования U представляет собой шар (или некоторую его часть) и/или когда подынтегральное выражение имеет вид f (x² + y² + z²).

Иногда выгодно использовать т.н. обощенные сферические координаты, связанные с декартовыми формулами

В этом случае якобиан равен

15)Определение, свойства и вычисление криволинейных интегралов 1-го рода.

Определение. Кривая () называется непрерывной кусочно – гладкой, если функции j, y и g непрерывны на отрезке [a,b] и отрезок [a,b] можно разбить на конечное число частичных отрезков так, что на каждом из них функции j, y и g имеют непрерывные производные, не равные нулю одновременно.

Если определено не только разбиение кривой на частичные отрезки точками, но порядок этих точек, то кривая называется ориентированнной кривой.

Ориетированная кривая называется замкнутой, если значения уравнения кривой в начальной и конечной точках совпадают.

Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой на частичные отрезки существует предел интегральных сумм, то этот предел называется криволинейным интегралом от функции f(x, y, z) по длине дуги АВ или криволинейным интегралом первого рода.

Свойства криволинейного интеграла первого рода.

1) Значение криволинейного интеграла по длине дуги не зависит от направления кривой АВ.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла.

3) Криволинейный интерал от суммы функций равен сумме криволинейных интегралов от этих функций.

4) Если кривая АВ разбита на дуга АС и СВ, то

5) Если в точках кривой АВ

, то

6) Справедливо неравенство:

7) Если f(x, y, z) = 1, то

S – длина дуги кривой, l - наибольшая из всех частичных дуг, на которые разбивается дуга АВ.

8) Теорема о среднем.

Если функция f(x, y, z) непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой существует точка (x₁, y₁, z₁) такая, что

Для вычисления криволинейного интеграла по длине дуги надо определить его связь с обыкновенным определенным интегралом.

Пусть кривая АВ задана параметрически уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t),

a £ t £ b, где функции х, у, z – непрерывно дифференцируемые функции параметра t, причем точке А соответствует t = a, а точке В соответствует t = b. Функция f(x, y, z) – непрерывна на всей кривой АВ.

Для любой точки М(х, у, z) кривой длина дуги АМ вычисляется по формуле

Длина всей кривой АВ равна:

Криволинейный интеграл по длине дуги АВ будет находиться по формуле:

16) Свойства криволинейного интеграла второго рода.

1) Криволинейный интеграл при перемене направления кривой меняет знак.

2)

3)

4)

5) Криволинейный интеграл по замкнутой кривой L не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода кривой.

Направление обхода контура L задается дополнительно. Если L – замкнутая кривая без точек самопересечения, то направление обхода контура против часовой стрелки называется положительным.

6) Если АВ – кривая, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси ОХ, то

Аналогичные соотношения справедливы при интегрировании по переменным у и z.

Теорема. Если кривая АВ – кусочно- гладкая, а функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и

R(x, y, z) – непрерывны на кривой АВ, то криволинейные интегралы

существуют.

Вычисление криволинейных интегралов второго рода производится путем преобразования их к определенным интегралам по формулам:

В случае, если АВ – плоская кривая, заданная уравнением y = f(x), то