Решение. а) Сравнивая заданное уравнение с общим уравнением (3.34), находим коэффициенты

а) Сравнивая заданное уравнение с общим уравнением (3.34), находим коэффициенты

1. Поскольку , поворот системы координат делать не нужно.

2. В уравнении имеются квадраты обеих неизвестных. Преобразуем левую часть заданного уравнения, выделяя полные квадраты:

Следовательно, уравнение можно записать в виде . Делая замену или, выражая старые координаты через новые: , получаем — каноническое уравнение пары пересекающихся прямых (см. уравнение (5) в теореме 3.3 при ). В данном случае пункта 3 алгоритма не выполняется.

б) Сравнивая заданное уравнение с общим уравнением (3.34), находим коэффициенты

1. Поскольку в заданном уравнении нет произведения неизвестных , то уравнение имеет "почти" приведенный вид.

2. Выделяя полный квадрат по неизвестной , получаем

Делая замену или, выражая старые координаты через новые: получаем — каноническое уравнение параболы (см. уравнение (6) в теореме 3.3 при ).

в) Сравнивая заданное уравнение с общим уравнением (3.34), находим коэффициенты

1. В заданном уравнении имеется произведение неизвестных , поэтому необходимо сделать поворот системы координат. Величину угла поворота находим по формуле (3.40):

то есть , учитывая ограничение . При повороте системы координат на угол старые координаты выражаются через новые по формулам (3.35):

Подставляя их в левую часть заданного уравнения, получаем

Раскрываем скобки и приводим подобные члены:

2. Так как линейные члены отсутствуют, то параллельный перенос системы координат делать не нужно.

3. Переносим свободный член в правую часть и делим обе части уравнения на (-8):

Осталось поменять названия координатных осей, т.е. сделать замену после которой получаем — каноническое уравнение гиперболы (см. уравнение (4) в теореме 3.3 при ). Найдем формулы перехода от исходной системы координат к канонической . Подставляя в формулы поворота на угол , получаем

г) Сравнивая заданное уравнение с общим уравнением (3.34), находим коэффициенты

1. В заданном уравнении имеется произведение неизвестных , поэтому необходимо сделать поворот системы координат. Величину угла поворота находим по формуле (3.40):

Так как , то из уравнения находим тангенс искомого угла:

или

Ограничению удовлетворяет острый угол . Вычисляем и и делаем замену:

соответствующую повороту (3.35) на угол . Получаем уравнение

Раскрываем скобки и приводим подобные члены:

Получили приведенное уравнение (III).

2. "Уничтожаем" линейные члены, выделяя полные квадраты:

После замены или, выражая старые координаты через новые: получаем .

3. Переносим свободный член в правую часть и делим обе части уравнения на 100:

Это уравнение похоже на каноническое уравнение эллипса (см. уравнение (1) в теореме 3.3 при и ). Однако, его коэффициенты не удовлетворяют неравенству . Поэтому необходимо переименовать координатные оси, т.е. сделать замену после которой получаем каноническое уравнение эллипса .

Формулы перехода от исходной системы координат к канонической получаем как композицию преобразований прямоугольных координат,

выражения параллельного переноса а затем — отражения Первая подстановка дает:

вторая подстановка дает искомую связь