Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости

Параллельный сдвиг координатных осей (рис. 4.8)

Поворот координатных осей (рис. 4.9)

Параллельный сдвиг и поворот координат осей (рис. 4.10)

Пусть в прямоугольной системе координат алгебраическая линия второго порядка задана уравнением (3.34):

Чтобы привести уравнение к каноническому виду, нужно выполнить следующие действия.

1. Если в уравнении имеется член с произведением неизвестных , то делаем поворот системы координат:

на угол , удовлетворяющий равенству . При этом получим "почти" приведенное уравнение линии второго порядка:

Если , переходим к пункту 2, поворот системы координат делать не нужно, так как исходное уравнение имеет "почти" приведенный вид.

2. Выполняем параллельный перенос системы координат:

а) если в уравнении нет линейных членов, то переходим к пункту 3;

б) если в уравнении имеется линейный член с какой-либо неизвестной и квадратичный член с этой же неизвестной, то, дополняя эти члены до полного квадрата, делаем замену, чтобы в уравнении не стало линейного члена с этой неизвестной. Например, если в уравнении и ,то выполняем преобразования:

а затем замену неизвестных , после которой в уравнении не будет линейного члена с неизвестной ;

в) если в уравнении имеется только один линейный член с какой-либо неизвестной, а квадрат этой неизвестной отсутствует, то при помощи замены этой переменной надо сделать равным нулю свободный член уравнения. Например, если уравнение имеет вид

то, выполняя замену неизвестных , получаем уравнение без свободного члена:

3. Полученное в результате упрощений (пункт 2) уравнение имеет "почти" канонический вид. Для окончательного упрощения "почти" канонического уравнения при необходимости применяются следующие преобразования:

а) переименование координатных осей: ;

б) изменение направления координатной оси, например оси абсцисс: ;

в) умножение обеих частей уравнения на отличный от нуля множитель;

г) перенос членов из одной части уравнения в другую.

В результате этих преобразований уравнение приводится к каноническому виду. Замену неизвестных, приводящую уравнение поверхности к каноническому виду, определяем как композицию всех замен, применяемых в ходе решения.

Пример 3.19. В прямоугольной системе координат заданы уравнения алгебраических линий второго порядка:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Каждое уравнение привести к каноническому виду. Указать связь между исходной и канонической системами координат.