![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Последовательности. Рассмотрим ряд натуральных чисел:
1, 2, 3, …, n –1, n, ….
Если заменить каждое натуральное число n в этом ряду некоторым числом un, следуя некоторому закону, то мы получим новый ряд чисел:
u 1, u 2, u 3, …, un 1, un, …, кратко обозначаемый { un }
и называемый числовой последовательностью. Величина un называется общим членом последовательности. Обычно числовая последовательностьзадаётся некоторой формулой un = f (n), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n; эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задаётся путём описания её членов (см. ниже последний пример).
П р и м е р ы числовых последовательностей:
1, 2, 3, 4, 5, … ряд натуральных чисел;
2, 4, 6, 8, 10, … ряд чётных чисел;
1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … числовая последовательность
приближённых значений
с увеличивающейся точностью.
В последнем примере невозможно дать формулу общего члена последовательности, тем не менее эта последовательность описана полностью.
Предел числовой последовательности. Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу a приувеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгоеопределение.
Это определение означает, что a есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к a при возрастании n. Геометрически это значит, что для любого > 0 можно найти такое число N, что начиная с n > N все члены последовательности расположены внутри интервала (a
a
). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.
Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M, что | un | M для всех n. Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонной.
Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел (эта теорема даётся в средней школе без доказательства).
Основные свойства пределов. Нижеприведенные свойства пределов справедливы не только для числовых последовательностей, но и для функций.
Если { un } и { vn } две сходящиеся последовательности, то:
Если члены последовательностей { un }, { vn }, { wn } удовлетворяют неравенствам
26. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ.
1. | Пропорциональные величины. Если переменные y и x прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:
y = k x,
где k - постоянная величина (коэффициент пропорциональности).
График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X угол ![]() ![]() ![]() |
2. | Линейная функция. Если переменные y и x связаны уравнением 1-ой степени:
A x + B y = C,
где по крайней мере одно из чисел A или B не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис.9.
![]() |
3. | Обратная пропорциональность. Если переменные y и x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:
y = k / x,
где k - постоянная величина.
График обратной пропорциональности – гипербола (рис.10). У этой кривой две ветви. Гиперболы получаются при пересечении кругового конусаплоскостью (о конических сечениях см. раздел «Конус» в главе «Стереометрия»). Как показано на рис.10, произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна k, что следует из уравнения гиперболы: xy= k.
![]() ![]() ![]() |
4. | Квадратичная функция. Это функция: y = ax 2 + bx + c, где a, b, c - постоянные, a ![]() ![]() ![]() |
Изобразите, пожалуйста, квадратную параболу для случая a > 0, D > 0.
Основные характеристики и свойства квадратной параболы:
- область определения функции: < x +
(т.e. x
R), а область
значений: … (ответьте, пожалуйста, на этот вопрос сами!);
- функция в целом не монотонна, но справа или слева от вершины
ведёт себя, как монотонная;
- функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при b = c = 0,
и непериодическая;
- при D < 0 не имеет нулей. (А что при D 0?).
5. | Степенная функция. Это функция: y = axn, где a, n – постоянные. При n = 1 получаем прямую пропорциональность: y = ax; при n = 2 - квадратную параболу; при n = 1 - обратную пропорциональность или гиперболу. Таким образом, эти функции - частные случаи степеннойфункции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, cледовательно, при n = 0 степенная функция превращается в постоянную величину: y = a, т.e. её график - прямая линия, параллельная оси Х, исключая начало координат (поясните, пожалуйста, почему?).Все эти случаи (при a = 1) показаны на рис.13 (n ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
6. | Показательная функция. Функция y = ax, где a - положительное постоянное число, называется показательной функцией. Аргумент x принимает любые действительные значения; в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа, так как иначе мы имеем многозначную функцию. Так, функция y = 81 x имеет при x = 1/4 четыре различных значения: y = 3, y = 3, y = 3 i и y = 3 i (проверьте,пожалуйста!). Но мы рассматриваем в качестве значения функции только y = 3. Графики показательной функции для a = 2 и a = 1/2 представлены на рис.17. Они проходят через точку (0, 1). При a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При a > 1 показательная функция возрастает, a при 0 < a < 1 – убывает.
![]() ![]() ![]() ![]() |
7. | Логарифмическая функция. Функция y = log a x, где a – постоянное положительное число, не равное 1, называется логарифмической. Эта функция является обратной к показательной функции; её график (рис.18) может быть получен поворотом графика показательной функции вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.
![]() ![]() ![]() ![]() |
8. | Тригонометрические функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов. Тогда функция y = sin x представляется графиком (рис.19). Эта кривая называется синусоидой.
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
9. | Обратные тригонометрические функции. Определения обратных тригонометрических функций и их основные свойства приведены водноимённом разделе в главе «Тригонометрия». Поэтому здесь мы ограничимся лишь короткими комметариями, касающимися их графиков, полученных поворотом графиков тригонометрических функций вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.
![]() |
Функции y = Arcsin x (рис.23) и y = Arccos x (рис.24) многозначные, неограниченные; их область определения и область значений соответственно: 1 x
+1 и
< y +
. Поскольку эти функции многозначные,не рассматриваемые в элементарной математике, в качестве обратных тригонометрических функций рассматриваются их главные значения: y = arcsin x и y = arccos x; их графики выделены на рис.23 и рис.24 жирными линиями.
Функции y = arcsin x и y = arccos x обладают следующими характеристиками и свойствами:
- у обеих функций одна и та же область определения: 1 x
+1;
их области значений: /2
y
/2 для y = arcsin x и 0
y
для y = arccos x;
- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные
(y = arcsin x – возрастающая функция; y = arccos x – убывающая);
- каждая функция имеет по одному нулю (x = 0 у функции y = arcsin x и
x = 1 у функции y = arccos x).
Функции y = Arctan x (рис.25) и y = Arccot x (рис.26) - многозначные, неограниченные; их область определения:
x
+
. Их главные значения y = arctan x и y = arccot x рассматриваются в качестве обратных тригонометрических функций; их графики выделены на рис.25 и рис.26 жирными ветвями.
Функции y = arctan x и y = arccot x имеют следующие характеристики и свойства:
- у обеих функций одна и та же область определения:
x
+
;
их области значений: /2 < y <
/2 для y = arctan x и 0 < y <
для y = arccos x;
- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные
(y = arctan x – возрастающая функция; y = arccot x – убывающая);
- только функция y = arctan x имеет единственный ноль (x = 0);
функция y = arccot x нулей не имеет.
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 444 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!