Сущность, геометрия, метрика

В целом частные случаи тектологического пространства, прежде всего - экономического исследованы на сегодняшний день достаточно глубоко. Получены интересные результаты. Достаточно указать монографию Н.М.Сурниной[30]. Поэтому мы рассматриваем лишь одну сторону проблемы, связанную с возможностью математического описания тектологического пространства - его геометрию и метрику. При этом ввиду недостаточной разработанности и сложно­сти данной конкретной задачи, цель настоящей статьи, скорее, - постановка про­блемы, нежели ее решение.

2. Пока масштабы и сложность организованных систем, скорости протекающих в них процессов, были еще сравнительно невелики - исследование организационных отношений могло вполне довольствоваться аксиомами и методами, основа которых восходит еще к классической механике и, следовательно, к евклидовой геометрии. Эта последняя, как известно, есть не что иное, как кинематика движения твердых тел при нерелятивистских скоростях. Но когда масштабы систем возросли, усложнилась их структура, значительно увеличились скорости организационных процессов – требуется переход к другой кинематике и, следовательно, к иной геометрии[31].

3. Современная философия рассматривает пространство и время как общие формы существования материи, как формы координации материальных объектов и явлений. Эти формы не могут существовать вне материи и независимо от нее. Отличие же их друг от друга в том, что пространство есть всеобщая форма сосуществования тел, а время – всеобщая форма смены явлений[32].

В физике пространство и время определяются как фундаментальные структуры координации материальных объектов и их состояний: система отношений, отображающая координацию сосуществующих объектов (расстояния, ориентацию и т.д.) образует пространство; система отношений, отображающая координацию сменяющих друг друга состояний или явлений (последовательность, длительность и т.д.) образует время. [33] [7].

Еще более общей является математическая трактовка понятия пространства как логически мыслимой формы или структуры, служащей средой, в которой осуществляются другие формы и различные конструкции. Пространство определяется в этом случае как множество каких-либо объектов, которые называются точками пространства. Точнее: пространство в общем случае понимается как непрерывная совокупность любого рода однотипных объектов, которые являются точками этого пространства [34]. Поскольку в этом пространстве фиксируются отношения, сходные по своим формальным характеристикам с обычными пространственными отношениями, считается, что они представляют собой логически мыслимые пространственно - подобные формы.

С учетом сказанного:

Исходя из этого расстояние взаимодействия () определяется скоростью процессов обмена (,) и их продолжительностью ():

В организационных системах (например, в системах управления) скорость взаимодействия (прежде всего, скорость передачи информации) играет решающую роль и определяет все остальные параметры системы. Именно она, в конечном счете, определяет масштабы подобных систем, поскольку чем выше скорость передачи информации, тем на большее расстояние при прочих равных условиях она может быть передана без утраты актуальности передаваемых сведений.

Например, в условия чрезвычайного положения ситуация меняется в течение часов, а иногда и минут. При наличии только почтовой и курьерской связи орган управления должен быть на месте событий, чтобы получать информацию в реальном масштабе времени и принимать оптимальные решения. Следовательно, в этих условиях масштабы систем управления в принципе не могут быть большими. При наличии же всей совокупности современных видов связи – орган управления может находиться в любом месте, в том числе – и на достаточно большом отдалении от мест событий.

5. Чтобы задать геометрию любого пространства, необходимо определить точку этого пространства, число координат точки в данном пространстве (размерность пространства) и правило определения рас­стояний между точками (метрику)[36]. Эта метрика соответствует типу пространства.

Обычно рассматриваются три типа пространств:

ü евклидово пространство;

ü пространство римановой геометрии;

ü пространство Лобачевского (гиперболическое пространство).

Попытаемся определить, какое из них более соответствует особенностям тектологического пространства

6. Анализ существующих в природе и в обществе систем, организационных процессов, наиболее общих законов и закономерностей системной динамики показывает:

7. Пространство Лобачевского - этопространство постоянной отрицательной кривизны[38]. Это пространство с бесконечной площадью и объемом, бесконечно простирающееся во все стороны, и потому содержащее бесконечное число систем. В то же время, как это показано в дальнейшем – это пространство не изотропно. Сумма углов треугольника в про­странстве Лобачевского меньше . Расстояния между точками определяются с помощью гиперболической метрики.

Отметим еще одну, важную для дальнейшего особенность геометрии Лобачевского. В отличие от геометрии Евклида, в которой нет никаких формул, выражающих линейные величины через угловые, в геометрии Лобачевского стороны любого треугольника определяются его углами. В частности, для прямоугольного треугольника в котором - гипотенуза, - острые углы, - прямой угол, имеем:

(2.3.)

- гиперболический косинус; - радиус кривизны.

Это означает, что в геометрии Лобачевского не существует подобных треугольников, кроме равных (конгруэнтных). То же относится ко всем другим фигурам

Примером поверхности постоянной отрицательной кривизны является псевдосфера (рис. 2.4.).

Это поверхность, образованная вращением плоской кривой – трактрисы около её асимптоты. На рис.2.4.а, показана трактриса , которая характеризуется постоянством длины подкасательной для любой точки . Точка у трактрисы есть точка возврата. На рис. 2.4. б, показана поверхность псевдосферы, появившаяся в результате вращения трактрисы относительно .

а) б)

Рис. 2.4. Трактриса и псевдосфера

Рис. 2.5. Постулат о параллельных Лобачевского