Рівняння Бернуллі

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння, яке є лінійним відносно невідомої функції та її похідної першого порядку, а саме:

, (27.14)

де – вільний член рівняння; та – задані неперервні функції незалежної змінної (вони також можуть бути сталими).

Існує декілька способів для розв’язування таких рівнянь.

1. Метод Бернуллі. Принцип методу полягає у тому, що вводять нову змінну, завдяки застосуванню якої змінні вихідного рівняння можна було б відокремити.

Шукатимемо розв’язок рівняння у вигляді добутку двох невідомих функцій:

.

Для першої похідної цього співвідношення отримаємо вираз:

.

Таким чином, вихідне рівняння (27.14) набуває вигляду:

.

Це рівняння можна надати у вигляді системи:

(27.15)

Вибравши за будь-який частинний розв’язок рівняння

,

тоді для знаходження невідомої функції отримаємо рівняння:

.

Отже, обидва рівняння системи (27.15) представляють собою рівняння з відокремлюваними змінними.

Розв’язавши перше рівняння системи, знайдемо функцію :

.

Нагадаємо, що нас цікавить будь-який частинний розв’язок, отже,

.

Підставляючи знайдений розв’язок у друге рівняння системи (27.15), отримаємо:

.

Звідси

.

Таким чином, загальний розв’язок лінійного рівняння має вигляд:

. (27.16)

2. Метод варіації довільної сталої (метод Лагранжа). Принцип методу полягає у тому, що за загальним розв’язком однорідного диференційного рівняння першого порядку, в якому припускають, що , знаходять розв’язок вихідного рівняння.

Для цього спочатку за вихідним рівнянням (27.14) складають однорідне рівняння:

,

яке є рівнянням з відокремлюваними змінними. Розв’язавши це рівняння, отримують його загальний розв’язок . Вважаючи, що , знаходимо похідну і підставляємо отриманий розв’язок у вихідне рівняння, яке є неоднорідним. Ми отримали диференціальне рівняння відносно невідомої функції :

.

Розв’язавши останнє рівняння, знаходимо функцію і підставляємо її у загальний розв’язок однорідного рівняння замість довільної сталої. Це і є розв’язок лінійного диференційного рівняння.

Слід зазначити, що метод варіації довільної сталої має більш широке застосування. Так, він може застосовуватись для розв’язання лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь другого порядку.

Розглянемо обидва методи на прикладі.Знайдемо розв'язок рівняння , яке є лінійним.

За методом Бернуллі застосовуємо підстановку , де і – функції від .Тоді . Підставляючи і у вихідне рівняння, одержуємо:

.

Згрупуємо члени, що містять , і винесемо за дужки, а саме:

.

Отже,

За першим рівнянням системи знаходимо функцію , для чого відокремлюємо змінні:

і інтегруємо обидві частини рівняння:

.

Отримуємо частинний розв’язок:

.

Звідси .

Знайдену функцію підставляємо в друге рівняння системи і отримуємо диференціальне рівняння відносно функції :

.

Отже,

.

Інтегруємо

.

Звідси отримуємо загальний розв’язок:

.

Таким чином,

.

Розв’яжемо цей же приклад за методом варіації довільної сталої.

Спочатку складаємо однорідне рівняння, яке відповідає вихідному:

і знаходимо його загальний розв’язок:

або

.

Припустимо, що . Тоді, підставивши у вихідне рівняння, , отримуємо:

.

Приводимо подібні і отримуємо:

.

Ми вже знаходили функцію за таким диференціалом, отже, можемо записати:

.

Підставивши замість довільної сталої у загальний розв’язок однорідного рівняння знайдене значення , матимемо загальний розв’язок лінійного рівняння:

.

Зрозуміло, що ми отримали той самий розв’язок.

Розглянемо ще один не зовсім звичайний приклад.Розв’яжемо рівняння

.

Дане рівняння лінійне, але відносно функції , тому запишемо його інакше:

.

Отже, маємо: . Ми отримали лінійне рівняння відносно . За методом Бернуллі його розв'язок шукаємо у вигляді , звідки . Підставляємо у рівняння та і одержуємо:

.

Виносимо за дужки :

.

Від рівняння переходимо до системи рівнянь:

З першого рівняння знаходимо .

,

звідки

.

Інтегруючи одержане рівняння, маємо:

.

З другого рівняння системи знайдемо . Підставивши у нього знайдений вираз для , отримуємо:

.

Отже, у диференціалах записуємо так:

.

Інтегруємо це рівняння:

.

Визначимо інтеграл, застосувавши метод інтегрування частинами:

.

Тепер маємо:

.

Отже,

.

Таким чином,

.

Рівняння Бернуллі. Диференціальне рівняння вигляду:

, де . (27.17)

називається рівнянням Бернуллі. У цьому рівнянні та – деякі неперервні функції, які можуть бути і сталими. Рівняння Бернуллі являє собою нелінійне рівняння оскільки невідома функція в праву частину рівняння входить нелінійно. З рівняння (27.17) при отримуємо лінійне однорідне диференціальне рівняння першого порядку, а при – лінійне неоднорідне рівняння, яке розглядалось у даному розділі.

Рівняння Бернуллі можна розв’язати, зведенням його до лінійного, якщо застосувати заміну змінної:

. (27.18)

Поділивши обидві частини рівняння (27.17) на , одержимо:

. (27.19)

Тепер замість функції введемо нову функцію . Для першої похідної цієї функції маємо:

.

Підставимо одержані співвідношення у початкове рівняння і отримаємо лінійне диференціальне рівняння відносно функції , а саме, , алгоритм розв'язання якого нам вже відомий.

Знайдемо розв’язок рівняння:

Це рівняння Бернуллі. Приводимо його до лінійного, застосовуючи заміну (27.18). У нашому прикладі , тому

, тоді .

Рівняння приймає вигляд:

.

Після множення на отримуємо:

Отже, ми отримали лінійне рівняння відносно z. Розв’язок його шукаємо у вигляді , звідси . Підставляючи і у рівняння, отримуємо:

Це рівняння замінюємо на систему рівнянь:

З першого рівняння знайдемо .

.

Відокремлюємо змінні і інтегруємо рівняння:

.

Таким чином, , тобто,

З другого рівняння системи знайдемо :

, або , , .

Після інтегрування отримуємо:

.

Таким чином:

.

Повертаємося до змінної :

Ключові терміни

Звичайне диференціальне рівняння; неявне диференціальне рівняння; рівняння, що розв’язане відносно похідної; порядок диференціального рівняння; рівняння у частинних похідних; загальний розв’язок диференціального рівняння; загальний інтеграл; геометричне тлумачення диференціального рівняння першого порядку; інтегральна крива; сім'я інтегральних кривих; частинний розв’язок диференціального рівняння; особливі розв’язки; початкова умова; задача Коші; диференціальне рівнянням з відокремленими змінними; рівняння з відокремлюваними змінними; особливі точки; однорідне рівняння першого порядку; метод Лагранжа; лінійне диференціальне рівняння першого порядку; метод Бернуллі; метод варіації довільної сталої; рівняння Бернуллі.

Питання для самоперевірки

1. Який вигляд має диференціальне рівняння -го порядку?

2. Що називається загальним розв’язком диференціального рівняння -го порядку?

3. Що називається частинним розв’язком?

4.Сформулюйте задачу Коші для диференціального рівняння першого порядку.

5. Які види диференціальних рівнянь першого порядку ви знаєте?

6. Який вид має диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними?

7. Що таке особливі точки? Який розв’язок вважається особливим?

8. Яке рівняння називається однорідним?

9. Яку заміну треба зробити для розв'язання однорідних рівнянь?

10. У чому полягає метод варіації довільної сталої?

11. Яке рівняння першого порядку називається лінійним?

12 Як розв'язати лінійне диференціальне рівняння?

13. Яким чином можна звести рівняння Бернуллі до лінійного диференціального рівняння?