![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Диференціальне рівняння, яке можна привести до вигляду:
, (27.11)
носить назву однорідного рівняння першого порядку, якщо його праву частину, тобто функцію , можливо представити як функцію відношення своїх аргументів:
. У цьому випадку рівняння (27.11) набуває вигляду:
. (27.12)
Це рівняння легко перетворити у рівняння з відокремлюваними змінними, якщо застосувати таку підстановку:
.
Оскільки та
, рівняння (27.12) приймає вигляд:
,
тобто
. (27.13)
Це означає, що у рівнянні (27.13) змінні відокремилися. Проінтегрувавши обидві частини рівняння (27.13) одержимо:
.
За цим співвідношення знайдемо загальний інтеграл рівняння: . Повертаючись до вихідної змінної
, отримаємо розв’язок однорідного рівняння.
Зауважимо, що нормальне диференціальне рівняння першого порядку
є однорідним відносно
та
, якщо функція
є однорідною степеня 0, тобто виконується співвідношення:
,
.
Розглянемо на прикладі розв’язання однорідних рівнянь.
Розв’яжемо рівняння
.
Перевіримо, чи є це рівняння однорідним:
.
Отже, диференційне рівняння є однорідним. Перетворимо його таким чином:
.
Тепер зробимо підстановку. Оскільки ,
та
, то
.
Проінтегруємо обидві частини рівняння:
.
Повертаючись до вихідної змінної, отримуємо загальний інтеграл:
,
.
Ще один приклад. Маємо рівняння:
. Знайдемо його частинний розв’язок за умови, що
.
Спочатку визначимо загальний розв’язок рівняння. Оскільки рівняння є однорідним, то введемо нову змінну , тоді
та
. Підставляючи одержані співвідношення в початкове рівняння, маємо:
.
Проінтегруємо обидві частини рівняння:
тепер зробивши зворотну підстановку, маємо:
.
Таким чином, ми отримали загальний інтеграл рівняння:
.
Тепер скористуємось початковою умовою:
.
Отже, маємо частинний розв’язок:
.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 373 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!