Однорідні диференціальні рівняння

Диференціальне рівняння, яке можна привести до вигляду:

, (27.11)

носить назву однорідного рівняння першого порядку, якщо його праву частину, тобто функцію , можливо представити як функцію відношення своїх аргументів: . У цьому випадку рівняння (27.11) набуває вигляду:

. (27.12)

Це рівняння легко перетворити у рівняння з відокремлюваними змінними, якщо застосувати таку підстановку:

.

Оскільки та , рівняння (27.12) приймає вигляд:

,

тобто

. (27.13)

Це означає, що у рівнянні (27.13) змінні відокремилися. Проінтегрувавши обидві частини рівняння (27.13) одержимо:

.

За цим співвідношення знайдемо загальний інтеграл рівняння: . Повертаючись до вихідної змінної , отримаємо розв’язок однорідного рівняння.

Зауважимо, що нормальне диференціальне рівняння першого порядку є однорідним відносно та , якщо функція є однорідною степеня 0, тобто виконується співвідношення:

, .

Розглянемо на прикладі розв’язання однорідних рівнянь.

Розв’яжемо рівняння

.

Перевіримо, чи є це рівняння однорідним:

.

Отже, диференційне рівняння є однорідним. Перетворимо його таким чином:

.

Тепер зробимо підстановку. Оскільки , та , то

.

Проінтегруємо обидві частини рівняння:

.

Повертаючись до вихідної змінної, отримуємо загальний інтеграл:

, .

Ще один приклад. Маємо рівняння: . Знайдемо його частинний розв’язок за умови, що .

Спочатку визначимо загальний розв’язок рівняння. Оскільки рівняння є однорідним, то введемо нову змінну , тоді та . Підставляючи одержані співвідношення в початкове рівняння, маємо:

.

Проінтегруємо обидві частини рівняння:

тепер зробивши зворотну підстановку, маємо:

.

Таким чином, ми отримали загальний інтеграл рівняння:

.

Тепер скористуємось початковою умовою:

.

Отже, маємо частинний розв’язок:

.