![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Кінцевим етапом визначення функції за диференціальним рівнянням відносно її похідної є інтегрування. Однак у загальному випадку в якості коефіцієнтів диференціальне рівняння містить функції від незалежної змінної і змінної
, яка є функцією від
. Для того щоб рівняння можна було проінтегрувати, спочатку його треба представити у вигляді доданків, кожний з яких залежить лише від однієї змінної, тобто відокремити змінні.
Диференціальне рівняння, яке має вигляд:
, (27.8)
має назву рівняння з відокремлюваними змінними. Цей тип рівняння є самим простим, але разом з тим дуже важливим, оскільки більш складні рівняння за допомогою спеціальних перетворень зводяться саме до цього типу.
Розглянемо алгоритм розв’язання диференціальних рівнянь такого типу.
1. Поділивши рівняння (27.8) на добуток , одержимо рівняння, коефіцієнт якого при диференціалі
залежить лише від змінної
, а коефіцієнт при диференціалі
– лише від змінної
:
. (27.9)
У рівнянні (27.9) змінні та
відокремлені, воно називається рівнянням з ві докремленими змінними.
2. Проінтегрувавши ліву та праву частини рівняння (27.9), отримуємо:
, (27.10)
або якщо його розв’язати відносно диференціала функції, то
. (27.10І)
Обчисливши інтеграли, одержуємо його розв’язки у вигляді або
.
Точки, у яких умови теореми 27.1 порушуються, називаються особливими точками. Відповідно розв'язки рівняння, при яких , називаються особливими розв’язками, їх неможна отримати із загального розв’язку ні при якому значенні довільної сталої.
Розглянемо рівняння
.
Поділивши обидві частини рівняння на добуток
, одержуємо:
.
Оскільки змінні відокремлені, то можна інтегрувати рівняння почленно:
,
отже, загальним інтегралом рівняння буде функція:
.
Ще один приклад. Знайдемо розв'язок рівняння
.
Переходимо в рівнянні від похідної до диференціалів і розділяємо змінні. Одержуємо:
.
Після інтегрування отримуємо:
.
Оскільки константа є довільною, то її можна записати у вигляді логарифма, що є зручним для подальших перетворень:
.
Звідси отримуємо:
.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 588 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!