Рівняння з відокремлюваними змінними

Кінцевим етапом визначення функції за диференціальним рівнянням відносно її похідної є інтегрування. Однак у загальному випадку в якості коефіцієнтів диференціальне рівняння містить функції від незалежної змінної і змінної , яка є функцією від . Для того щоб рівняння можна було проінтегрувати, спочатку його треба представити у вигляді доданків, кожний з яких залежить лише від однієї змінної, тобто відокремити змінні.

Диференціальне рівняння, яке має вигляд:

, (27.8)

має назву рівняння з відокремлюваними змінними. Цей тип рівняння є самим простим, але разом з тим дуже важливим, оскільки більш складні рівняння за допомогою спеціальних перетворень зводяться саме до цього типу.

Розглянемо алгоритм розв’язання диференціальних рівнянь такого типу.

1. Поділивши рівняння (27.8) на добуток , одержимо рівняння, коефіцієнт якого при диференціалі залежить лише від змінної , а коефіцієнт при диференціалі – лише від змінної :

. (27.9)

У рівнянні (27.9) змінні та відокремлені, воно називається рівнянням з ві докремленими змінними.

2. Проінтегрувавши ліву та праву частини рівняння (27.9), отримуємо:

, (27.10)

або якщо його розв’язати відносно диференціала функції, то

. (27.10^І)

Обчисливши інтеграли, одержуємо його розв’язки у вигляді або .

Точки, у яких умови теореми 27.1 порушуються, називаються особливими точками. Відповідно розв'язки рівняння, при яких , називаються особливими розв’язками, їх неможна отримати із загального розв’язку ні при якому значенні довільної сталої.

Розглянемо рівняння .

Поділивши обидві частини рівняння на добуток , одержуємо:

.

Оскільки змінні відокремлені, то можна інтегрувати рівняння почленно:

,

отже, загальним інтегралом рівняння буде функція:

.

Ще один приклад. Знайдемо розв'язок рівняння .

Переходимо в рівнянні від похідної до диференціалів і розділяємо змінні. Одержуємо:

.

Після інтегрування отримуємо:

.

Оскільки константа є довільною, то її можна записати у вигляді логарифма, що є зручним для подальших перетворень:

.

Звідси отримуємо:

.