Диференціальні рівняння першого порядку

Диференціальним рівнянням першого порядку називається неявне рівняння вигляду

, (27.5)

або рівняння

. (27.6)

Загальний розв’язок диференціального рівняння першого порядку має вигляд:

, (27.7)

де – довільна стала.

Геометричне тлумачення диференціального рівняння першого порядку полягає у наступному. Оскільки згідно з рівнянням (27.6) у кожній точці області , у якій задана функція , визначається похідна першого порядку, тобто кутовий коефіцієнт дотичної до функції , то говорять, що рівняння (27.6) задає поле напрямків на області .

Загальному розв’язку (27.7) відповідає безліч інтегральних кривих. Для того щоб серед них виділити криву, що проходить через певну точку, необхідно задати початкову умову у вигляді координат цієї точки: . Задача знаходження розв’язку диференціального рівняння, яке задовольняє початкову умову, має назву задачі Коші.

Розв'язок диференціального рівняння (27.7) може існувати не для будь-якої функції і не при будь якій початковій умові.

Теорема 27.1 (існування і єдність розв’язку). Якщо в рівнянні функція та її частинна похідна неперервні в деякій замкненій області і точка , то існує єдиний розв'зок цього рівняння, який задовольняє початкову умову .

Доведення цієї теореми виходить за межі навчальної програми.

Геометричне тлумачення задачі Коші для диференціального рівняння першого порядку полягає у тому, що існує лише одна інтегральна крива, графік якої , що проходить через точку .

Якщо у точці умови теореми Коші виконуються, то початкову умову називають припустимою.

Для знаходження розв'язку задачі Коші треба у загальний розв'язок (27.7) диференціального рівняння підставити початкову умову та розв'язати рівняння відносно сталої . Тоді частинний розв'язок буде розв'язком задачі Коші.

Знайдемо розв’язок задачі Коші, якщо відомо, що функції задовольняє диференціальне рівняння та .

Спочатку визначимо функцію, для якої похідна першого порядку дорівнює . Це функції вигляду , де – довільна стала. Таким чином, ми знайшли загальний розв’язок диференціального рівняння, якому відповідає сім'я кривих (рис. 27.1).

Рис. 27.1. Сімейство інтегральних кривих

Оскільки функція, яка може бути розв’язком задачі Коші, повинна задовольняти початкову умову ,   то підставивши ці значення у вираз для функції, отримаємо, що . Отже, серед сім'ї кривих, які описуються функціями , знайдено функцію , графік якої проходить через точку .