 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Основні поняття та означення
|
|
Диференціальним рівнянням називається рівняння, що пов’язує шукану функцію однієї або декількох змінних, ці змінні та похідні від функції різних порядків. Якщо функція, відносно якої розглядається диференціальне рівняння, залежить лише від однієї змінної, то таке диференціальне рівняння називається звичайним. Отже, звичайне диференціальне рівняння зв’язує аргумент 
, деяку невідому функцію 
та її похідні довільних порядків. Звичайне диференціальне рівняння може бути задане у вигляді:
, (27.1)
Рівняння (27.1)називається рівнянням, що не розв’язане відносно похідної, або неявним диференціальним рівнянням.
Достатньо часто зустрічаються диференціальні рівняння, у яких старша похідна 
визначена у явному вигляді як функція аргументу , невідомої функції та її похідних меншого порядку:
, (27.2)
Рівняння вигляду(27.2) називається рівнянням, що розв’язане відносно старшої похідної.
Якщо невідома функція, яка входить до диференціального рівняння, є функцією більш ніж однієї змінної, то диференціальне рівняння називається рівнянням у частинних похідних. У цьому розділі розглядаються лише диференціальні рівняння для функції лише однієї змінної, тому термін «звичайне» стосовно диференціального рівняння ми опускаємо.
Порядком диференціального рівняння є порядок найвищої похідної, що містить у собі рівняння.
Отже, за означенням:
1) 
– неявне диференціальне рівняння першого порядку;
2) 
– диференціальне рівняння другого порядку, що розв’язане відносно похідної.
Задача про знаходження розв’язку диференціального рівняння є задачею інтегрування даного диференціального рівняння. Розв’язком диференціально го рівняння називають функцію 
, підстановка якої у рівняння перетворює його у тотожність. Графік розв’язку називається інтегральною кривою. Рівняння (27.1 – 27.2) мають безліч розв'язків, тобто утворюють сімейство інтегральних кривих. Розв’язати диференціальне рівняння означає знайти всі його розв’язки.
Загальним розв’язком диференціального рівняння 
-го порядку називається функція
, (27.3)
яка окрім аргументу також містить незалежні довільні сталі 
, кількість яких дорівнює порядку рівняння.
Якщо загальний розв’язок отримано у неявному вигляді:
, (27.4)
то він називається загальним інтегралом.
Частинним розв'зком рівняння називається розв'язок, який отримують із загального, якщо довільним сталим надати певні числові значення.
Ми вже розглядали задачу про визначення первісної за її похідною. Рівняння
можна розглядати як диференціальне рівняння, яке розв’язане відносно похідної. Загальним розв’язком цього рівняння є множина первісних від функції 
:
.
Дійсно, 
, отже, при підстановці множини первісних вихідне рівняння перетворюється у тотожність.
Припустимо, що для деякого підприємства при виробництві продукції у кількості 
залежність граничної капіталоємності праці від обсягу капіталу описується функцією:
.
Визначимо функцію, що описує взаємозамінність праці і капіталу при сталому обсягу випуску продукції. Ця задача зводиться до визначення первісної за її відомою похідною. Отже,
.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 291 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
