Однополюсный рекурсивный фильтр

Пример однополюсного НЧ-фильтра показан на Рис. 19.2. Этот рекурсивный

фильтр имеет всего два весовых коэффициента, принимающих значения а0 = 0.15

и Ь 1 = 0.85. Подадим ступенчатое входное воздействие. Как и следовало ожидать,

выходная реакция НЧ-фильтра плавно нарастает до некоторого установившегося

значения. Этот график, возможно, напомнил вам известный пример из электротехники.

Рекурсивный НЧ-фильтр оказывает на цифровой сигнал точно такое же

действие, какое оказывает обычный RС-фильтр на аналоговый сигнал. Достоинство рекурсивного метода состоит в том, что, меняя всего несколько

параметров, можно создавать самые разные импульсные характеристики.

Фильтр, характеристики которого приведены на Рис. 19.3, имеет три коэффициента:

а0 = 0.93, а 1 = -0.93 и Ь 1 = 0.86. Подавая разнообразные тестовые воздействия,

можно показать, что он полностью повторяет свойства аналогового

ВЧ-фильтра, построенного на основе RС-цепи.

Разумеется, такие фильтры вам очень хотелось бы иметь в наборе доступных

инструментов ЦОС. Их можно использовать при обработке цифровых сигналов

так же, как RС-цепи используются в аналоговой обработке. Решаемые задачи точно

те же: устранение постоянной составляющей, подавление высокочастотного

Характеристики таких фильтров определяются параметром х =О... 1. Физический

смысл параметрах - относительное затухание на интервале между соседними отсчётами.

Например, у фильтра на Рис. 19.3 х = 0.86, вследствие чего каждый очередной

отсчёт импульсной характеристики равен предыдущему, умноженному на 0.86. Чем

больще х, тем медленнее спад. Если х больще единицы, фильтр оказывается неустойчивым.

В этом случае появление любого ненулевого отсчёта на входе фильтра приведёт

к переполнению (появлению слищком больщих значений) на выходе.

Параметр х может быть задан непосредственным образом, а также может быть

выражен через постоянную времени фильтра. Величина RxC имеет размерность

времени, и в простейщих RС-цепях она соответствует интервалу времени, через

который отклонение амплитуды выходного сигнала от установивщегося значения

сокращается в ходе переходного процесса до 36.8% от первоначальной величины.

Если d - постоянная времени, измеряемая числом отсчётов дискретного сигнала

, то имеет место следующее равенство:

Постоянная времени однополюсного фильтра. Взаимосвязь между относительным затуханием х

(за период дискретизации) и постоянной времени фильтра d.

Относительному затуханию х = 0.86 соответствует постоянная времени

d = 6.63 дискретных отсчётов (Рис. 19.3). Кроме того, между х и частотой среза,

определяемой на уровне -3 дБ, существует взаимосвязь:

Частота среза однополюсного фильтра. Взаимосвязь между относительным затуханием х

и частотой среза фильтра fc = 0... 0.5.

Из сказанного следует, что коэффициенты ai и bi могут быть выражены через

следующие три параметра: постоянную времени, частоту среза и непосредственно

через относительное затухание х.

Пример работы рекурсивных однополюсных фильтров иллюстрируется на

Рис. 19.4. Входной сигнал (а) представляет собой гладкую кривую, на которую на протяжении короткого интервала времени накладывается всплеск более высокой

частоты. С помощью НЧ- и ВЧ-фильтров можно разделить компоненты входного

сигнала (б), но всё же качество фильтрации оказывается низким, как и при использовании

аналоговых RС-цепей.

На Рис. 19.5 показаны АЧХ однополюсных рекурсивных фильтров. Чтобы получить

частотную характеристику рекурсивного фильтра, сначала находят его импульсную

характеристику как реакцию на единичное импульсное воздействие.

Затем применяют БПФ, чтобы перейти от импульсной характеристики к частотной.

Теоретически импульсная характеристика имеет бесконечную длину, но в

реальности через интервал, в 15... 20 раз превышающий постоянную времени, она

затухает ниже уровня шумов округления. Например, для d = 6.63 отсчёта в импульсной

характеристике значащими остаются только около 128 отсчётов.

На Рис. 19.5 хорошо заметна важная особенность однополюсных рекурсивных

фильтров, заключающаяся в слабых возможностях разделения частотных диапазонов.

Эти фильтры отлично проявляют себя при обработке сигналов во временной

области, но оказываются недостаточно мощными в задачах частотной селекции.

Некоторого улучшения частотных характеристик позволяет достичь

использование последовательного (каскадного) соединения нескольких однополюсных

фильтров. Здесь возможны два способа. Во-первых, сигнал можно пропускать

через один и тот же фильтр несколько раз. Во- вторых, воспользовавшись

Z-преобразованием, можно найти весовыекоэффициенты цифрового рекурсив- ного фильтра, эквивалентного по своим свойствам последовательному соединению

нескольких звеньев. Оба метода хорошо работают и находят широкое применение.

На Рис. 19.Sв показаны А ЧХ 4-каскадных рекурсивных НЧ-фильтров. Хотя

затухание в зоне подавления при переходе к каскадной форме построения значительно

увеличивается, переходная зона по-прежнему оставляет желать лучшего.

Если вам необходимо повысить качество в частотной области, ориентируйтесь на

использование фильтров Чебышева, речь о которых пойдет в следующей главе.

Многокаскадный НЧ -фильтр сопоставим с фильтрами Блэкмана и Гаусса, являющимися

модификациями однородных КИХ-фШ1ьтров (Глава 15), но при этом

он требует существенно меньших вычислительных затрат. Для расчёта 4-каскадного

НЧ-фильтра можно воспользоваться следующими уравнениями: