Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть область D записывается системой неравенств в полярных координатах:

Такая область называется правильной в полярной системе координат, если каждый луч, выходящий из полюса, пересекает границу области не более, чем в 2-x точках.

По определению .

Т. к. значение двойного интеграла не зависит от способа разбиения области D на элементарные части, то сделаем это разбиение координатными линиями полярной системы координат (лучами из полюса и концентрическими окружностями).

Переведенный в полярные координаты двойной интеграл сведен к повторному по имеющейся записи области D неравенствами для переменных и . В результате получаем формулу для вычисления двойного интеграла в полярных координатах:

.

Обратите внимание, что в правой части формулы присутствует множитель - это якобиан (определитель Якоби) преобразования, который находится следующим образом: