Масса плоской пластинки

Требуется найти массу m плоской пластинки D, зная, что ее поверхностная плотность g=g(х;у) есть непрерывная функция координат точки (х;у). Разобьем пластинку D на п элементарных частей площади которых обозначим через ∆S_i. В каждой области D; возьмем произвольную точку М_i(х_i;у_i) и вычислим плотность в ней:

Если области D_i достаточно малы, то плотность в каждой точке (х;у) є D_i мало отличается от значения g(x_i;y_i). Считая приближенно плотность в каждой точке области D_i постоянной, равной g(x_i;y_i), можно найти ее массу Так как масса m всей пластинки D равна то для ее вычисления имеем приближенное равенство

Точное значение массы получим как предел суммы (7.5) при условии n ->∞ и max d_i -> 0:

или, согласно равенству (7.2),

Итак, двойной интеграл от функции g(x;у) численно равен массе пластинки, если подынтегральную функцию g(х;у) считать плотностью этой пластинки в точке (х;у). В этом состоит физический смысл двойного интеграла.