Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Обратное утверждение формулируется несколько иначе. Если функция возрастает на промежутке, то или не существует.
Пример
Задание. Исследовать функцию на монотонность на всей числовой прямой.
Решение. Найдем производную заданной функции:
Для любого действительного : , а поэтому делаем вывод, что заданная функция возрастает на всей действительной оси.
Ответ. Функция возрастает на всей действительной оси.
71.Экстремумы функции. Точка называется точкой локального максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство: .
Точка называется точкой локального минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности .
Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.
Точка называется точкой строгого локального максимума функции , если для всех из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство .
Точка называется точкой строгого локального минимума функции , если для всех из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство .
72.Необходимое условие экстремума функции- Если функция имеет экстремум в точке , то ее производная либо равна нулю, либо не существует.
Точки, в которых производная равна нулю: , называются стационарными точками функции.
Следствие - f’(x)=0 (производная в точке экстремума =0). Необходимое условие необходимо, но не является достаточным.
73.Первое достаточное условие экстремума функции. (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть для функции выполнены следующие условия:
1. функция непрерывна в окрестности точки ;
2. или не существует;
3. производная при переходе через точку меняет свой знак.
Тогда в точке функция имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с плюса на минус.
Если производная при переходе через точку не меняет знак, то экстремума в точке нет.
Таким образом, для того чтобы исследовать функцию на экстремум, необходимо:
1. найти производную ;
2. найти критические точки, то есть такие значения , в которых или не существует;
3. исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;
4. найти значение функции в экстремальных точках.
74.Второе достаточное условие экстремума функции. (Второе достаточное условие экстремума)
Пусть для функции выполнены следующие условия:
1. она непрерывна в окрестности точки ;
2. первая производная в точке ;
3. в точке .
Тогда в точке достигается экстремум, причем, если , то в точке функция имеет минимум; если , то в точке функция достигает максимум.
75.Критические точки.- Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения ), либо это точки, в которых производная не существует.
76.Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции - Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она на этом отрезке достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Если свое наибольшее значение функция принимает в точке , то будет локальным максимумом функции , так как в этом случае существует окрестность точки , такая, что .
Однако свое наибольшее значение функция может принимать и на концах отрезка . Поэтому, чтобы найти наибольшее значение непрерывной на отрезке функции , надо найти все максимумы функции на интервале и значения на концах отрезка , то есть и , и выбрать среди них наибольшее. Вместо исследования на максимум можно ограничиться нахождением значений функции в критических точках.
Наименьшим значением непрерывной на отрезке функции будет наименьший минимум среди всех минимумов функции на интервале и значений и .
77.Выпуклость и вогнутость функции. Теоремы о выпуклости функции. - График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).
График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 292 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!