Определение. Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции в точке : или фун

Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции в точке : или функция не определена в точке , то точка называется точкой устранимого разрыва.

34.Непрерывность функции на отрезке- Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на интервале (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b

35.Теорема о существовании наибольшего и наименьшего значения непрерывной на отрезке функции- если функция непрерывна на отрезке АВ, то на этом отрезке найдется (.)х, f(x1) f(x) – x1 –точка минимума; f(x2) f(x) – x2 – точка максимума

Следствие – если f(x) непрерывна на интервале (АВ) и принимает своё наибольшее и наименьшее значение, то на этом интервале она принимает все значения

36.Теорема о среднем значении непрерывной на отрезке функции-если функция непрерывна на отрезке АВ она принимает значения разных знаков, то найдется (.) с, что f(c)=0

37.Сравнение бесконечно малых- при х->0 бесконечно малые; limx-> a(x)/b(x)=c: если с=0, то а(х)бесконечно малое более высшего порядка чем b(x); limx->a a(x)/b^k(x)=c: а(х) бесконенчо малая катого порядка по сравнению с b(x); limx->a a(x)/b(x)=1: a(x) и b(x) эквивалентные бесконечно малые

38.Теорема об использовании эквивалентных бесконечно малых при нахождении предела- предел отношения к бескочно малым = пределу отношения к ним бесконечно малым

39.Эквивалентность элементарных функций при x→0.

40.Приращение функции- в (.) x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если он -> 0

Приращение аргумента- разность между двумя значениями аргумента («новым» и «старым»). Обычно обозначается через Dх: Dх = x1 – x0

41.Производная. производной функции в (.) х называется предел отношения функции к приращению аргумента, если аргумент стремиться к нулю

42.Геометрический смысл.

Уравнение касательной.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f (x) в этой точке.

Рассмотрим график функции y = f (x):

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: xf (x 0+ x)− f (x 0)= tg , где - угол наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей.
Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то x неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС.
Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A.
Отсюда следует:

производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке.

уравнение касательной проведенной к графику касательной в (.) х нулевое

f(x)-f()=f'()(x- )

Функция называется:

43.Дифференцируемость функции в точке- если функция имеет производную в этой (.)

44.Дифференцируемость функции на отрезке- если функция имеет производную в каждой (.) этого отрезка

45.Дифференцируемость функции на интервале- если функция имеет производную в каждой (.) этого интервала

46.Теорема о непрерывности дифференцируемой функции – если функция деференциирована в некоторой (.), то она в этой (.) непрерывная

замечание – обратное утверждение не верно

47.Производные элементарных функций (таблица производных) –

48.Свойства производной. (производная постоянной, производная суммы, производная произведения, производная частного, производная произведения постоянной и функции) – 1)производная постоянна = 0, если Y=C (c=const) y'=(c)’=0

2)постоянный множитель можно вынести за знак производной

3)производная суммы конечного числа функции равна сумме производной

4)производная произведения 2-х функций равна произведению производной 1-ой функции + произведение производной 2-ой функции

5)производная деления 2-х функций

49.Производная сложной функции- y=f(u), u=£(x); y=F(a)=f(£(x)) (пр: sin(x^2)’=cos(x^2)2x)

50.Обратная функция.

Теорема об обратной функции-если возрастающая (убывающая) функция непрерывна на отрезке [a,b], причем f(a)=C, f(b)=d, то обратная функция определена и непрерывна на отрезке

51.Производная обратной функции- если для функции y=f(x) существует обратная функция x=£(y),которая в (.) у имеет производную, отличную от нуля, то в соответствующей (.)х, функция y=f(x) имеет производную равную f(x)=1/(£×(y))

52.Функция, заданная параметрически.

Производная функции, заданной параметрически-пусть функция y=£(t) имеет обратную t=Ф(х), тогда y= (Ф(х)) определяет функцию в этом случае уравнение t [T1;T2] t [0;2п] задает параметрическую функцию

Т: пусть функция y=F(x) заданна параметрически уравнением (см. выше), тогда производная функции будет равна

53.Неявная функция- дано уравнение содержащее 2 неизвестные: F(x;y)=0 Если функция y=f(x) такая, что при подстановке правой части это функции в уравнение F(x,f(x))=0, то говорят, что заданная функция Y=f(x) – неявная функция (заданная неявно)

Производная неявной функции- если независимая переменная х и функция у связанны уравнением вида F(x,y)=0, которое не разрешено относительно y, то функция Y называется неявной функцией переменной x. Что бы найти производную функции необходимо продиференциировать обе части заданного уравнения, рассматривая функцию y как функцию от х, а затем из полученного уравнения найти производную y'

54.Гиперболические функции-гиперболические синус(shx) и косинус (chx)

55.Дифференциал-главная линейная часть приращения функции относительно (приращение аргумента)

56.Свойства дифференциала. (дифференциал суммы, дифференциал произведения, инвариантность формы 1-го дифференциала с доказательством)- 1)дифференциал суммы функции равен сумме дифференциалов d(u+v)=du+dv

2) дифференциал произведения равен сумме произведения дифференциалов d(uv)=udv+vdu

3)инвариантность (независимость) форма 1-ого дифференциала не зависит от того является ли аргумент функции независимой переменой или функцией другого аргумента Док-во: функция y=f(x) и u= (x); y=f(£(x)) – сложная функция dy/dx = f’(u) × £’(x); dy=f’u × £’(x)dx; dy=f’udu

57.Производные и дифференциалы высших порядков – y” –называется производной от первой производной (2-ого порядка), y''' – называется производной от y'' производной (3-его порядка)

Формула Лейбница:

Здесь - число комбинаций, - факториал натурального числа .

58.Свойства производных высших (производная n-го порядка суммы, произведения константы на функцию, произведения 2-х функций-формула Лейбница с выводом) – 1) (u+v) ^n = u^n + v^n

2)(Cu)^n=C(u^n)

3)(uv)’=u’v+v’u, (u’v+v’u)’=(u’v)’+(v’u)’=u’’v+u’v’+v’’u+v’u’=u’’v+2u’v’+v’’u=(u’’v)’+(2u’v’)’+(v’’u)’=u’’’v+u’’v’+2(u’’v’+u’v’’)+v’’’u+u’v’’=u’’’v+3u’’v’+3v’’u’+v’’’u- если порядок производной заменить на степень при этом саму функцию считать нулевой степенью, то похожи на формулы Ньютона (a+b)^n=a^n+na^(n-1)b+(n(n-1)/(1x2)a^(n-2)b^2+b^n => (uv)^(n)=u^(n)v+nu^(n-1)v’+((n(n-1))/(1x2))u^(n-1)v’’+…+nu’v^(n-1)+uv^(n)

59.Дифференциалы высших порядков (с выводом). Дифференциалом-го порядка функции называется дифференциал от дифференциала -го порядка этой функции, то есть

Вывод-??????????

60.Теорема Ролля- если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] с дифференцируема наинтервале (a,b) принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдется хотя бы 1 (.), в которой производная функции равна нулю

(О нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения)

Пусть функция

1. непрерывна на отрезке ;

2. дифференцируема на интервале ;

3. на концах отрезка принимает равные значения .

Тогда на интервале найдется, по крайней мере, одна точка , в которой .

61.Теорема Лагранжа- если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] с дифференцируема наинтервале (a,b), то найдется такая точка С на промежутке (a,b) такая, что выполняется следующее неравенство

(О конечных приращениях)

Пусть функция

1. непрерывна на отрезке ;

2. дифференцируема на интервале .

Тогда на интервале найдется по крайней мере одна точка , такая, что

62.Теорема Коши. (Об отношении конечных приращений двух функций)

Если функции и :

1. непрерывна на отрезке ;

2. дифференцируема на интервале ;

3. производная на интервале ,

тогда на этом интервале найдется по крайней мере одна точка , такая, что

63.I правило Лопиталя. Первое правилоСлучай 0/0

64.II правило Лопиталя. Случай ∞/∞

65.Формула Тейлора (с выводом). Рассуждая аналогично, можно разложить многочлен по степеням разности , где - любое число. В этом случае будем иметь:

Это выражение называется формулой Тейлора для многочлена в окрестности точки .

Вывод -????????

66.Формула Маклорена. Рассмотрим многочлен -й степени

Его можно представить в виде суммы степеней , взятых с некоторыми коэффициентами. Продифференцируем его раз по переменной , а затем найдем значения многочлена и его производных в точке :

Таким образом, получаем, что

Полученное выражение называется формулой Маклорена для многочлена степени . Формула Маклорена является частным случаем формулы Тейлора при .

67.Остаточный член в форме Лагранжа, остаточный член в форме Пеано. Для произвольной функции , не являющейся многочленом, формула Тейлора в окрестности некоторой точки принимает вид:

Последнее слагаемое называется остаточным членом в форме Пеано.

68.Формула Тейлора для показательной и тригонометрических функций. Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции в точке .

69.Монотонные функции и 70.Теоремы о возрастании и убывании функции. Функция называется строго возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е.

Пример

Функция является возрастающей на промежутке , так как:

для