Задача параметрической идентификации объекта при нечетком управлении

Необходимо по текущим измерениям выхода объекта y ₁ = y (t ₁), …, t_k = y (t_k), полученным в моменты времени t ₁, …, t_k, определить вектор оценок вектора А неизвестных параметров модели вида

y (t) = A^TF (t), (9.56)

где A^T (a ₁, …, a_n) – вектор неизвестных параметров; F^T (t) = (f ₁(t), …, f_n (t)) – вектор заданных функций.

Предполагается, что являются нечеткими числами с треугольными функциями принадлежностей и необходимо найти функции принадлежности компонент вектора оценок .

Вначале в простейшем случае уравнение (9.56) пусть примет вид

y (t) = a ₁ f ₁(t) + a ₂ f ₂(t). (9.57)

Нечеткие числа a ₁, a ₂ пусть имеют треугольные непрерывные функции принадлежностей m _{a 1}(x ₁), m _{a 2}(x ₂) и соответственно их характеристики равны

; (9.58)

; (9.59)

; (9.60)

. (9.61)

Пусть функции f ₁(t) и f ₂(t) являются четкими числами, т. е. имеют функции принадлежности типа синглтон.

Рис. 9.5. Рис.9.6.

Функция принадлежности m _{a 1}(x ₁) Функция принадлежности m _{a 2}(x ₂)

Выберем шаг дискретизации Т = 0,5 при аппроксимации непрерывной функции принадлежности, тогда будем иметь произведение нечеткого числа а, на четкое число f для первого слагаемого в уравнении (9.57) в виде правила

. (9.62)

В соответствии с формулой (9.62) и значениями функций принадлежности (рис.9.5, рис. 9.6) имеем

(9.63)

С учетом того, что x ₁₂ = core a₁ = a₁, получим из геометрических соображений

core b ₁ = a₁ f ₁ и sup pb ₁ = c ₁| f ₁|. (9.64)

Аналогично для второго слагаемого (9.57) имеем

(9.65)

Так как x ₂₂ = core a₂ = a₂, получим:

core b ₂ = a₂ f ₂ и sup pb ₂ = c ₂| f ₂| (9.66)

После сложения 2 нечетких чисел a₁ f ₁, a₂ f ₂ получим:

(9.67)

Откуда с учетом (9.64) и (9.66) можем записать

, sup р . (9.68)

В общем случае будем иметь

(9.69)

и значения

core , sup p . (9.70)

Итак, имеем нечеткие измерения y_i:

. (9.71)

Из функции принадлежности m(y) имеем

(9.72)

где a_i, c_i – неизвестные величины, которые необходимо найти для параметрической идентификации объекта. Следует минимизировать линейную форму

(9.73)

при ограничениях

sup p y ₁;

sup p y_k; (9.74)

sup p y;

…

sup p y_k.

Минимизация (9.73) при ограничениях (9.74) соответствует минимизации суммы оснований функций принадлежностей нечетких чисел коэффициентов модели (1) при условии, что разброс измерений выводит и за пределы отрезков [core y_i –0,5 sup p y_i; core y_i + + 0,5 sup p y_i ].

Решение оптимизационной задачи обозначим через a _{i опт}, C_{i опт},

. Тогда коэффициенты а_i модели, характеризуемые ядрами функций принадлежностей, будут равны core , а их разброс равен sup p .

В результате получим модель объекта

, core , (9.75)

где символ «Н» обозначает нечеткие оценки.

В качестве примера рассмотрим результаты работы В.Я. Максимова и В.Д. Лебедева. В качестве выходного сигнала объекта принято значение унифицированного сигнала 0-5 мА снимаемого с выхода преобразователя. Примем, что при 2,5 мА на выходе объекта - регулируемая величина, имеет заданное значение и при единичном коэффициенте передачи объекта выход fuzzy регулятора будет также равен 2,5 мА.

Для формирования базы правил системы нечеткого вывода необходимо предварительно определить входные и выходные лингвистические переменные.

В качестве входной переменной fuzzy регулятора принято отклонение регулируемой величины, а в качестве выходной – значение унифицированного сигнала 0-5 мА. Сформируем базу правил системы нечеткого вывода.

ПРАВИЛО 1. ЕСЛИ «отклонение отрицательное большое (NB)», ТО «выход fuzzy регулятора минимальный (Z)».

ПРАВИЛО 2. ЕСЛИ «отклонение отрицательное среднее (NM)», ТО «выход fuzzy регулятора ниже нормы (LN)».

ПРАВИЛО 3. ЕСЛИ «отклонение ноль (Z)», ТО «выход fuzzy регулятора норма (N)».

ПРАВИЛО 4. ЕСЛИ «отклонение положительное среднее (PM)», ТО «выход fuzzy регулятора выше нормы (GN)».

ПРАВИЛО 5. ЕСЛИ «отклонение положительное большое (PB)», ТО «выход fuzzy регулятора максимальное значение (B)».

Осуществляем фаззификацию переменных. На этом этапе устанавливаются соответствия между конкретным значением отдельной переменной системы нечеткого вывода и значением функции принадлежности соответствующего ей терма входной лингвистической переменной. В качестве терм-множества первой лингвистической переменной будем использовать множество ERR = [«NB», «NM», «Z», «PM», «PB»] c кусочно-линейными функциями принадлежности, изображенными на рис. 9.7.

Рис. 9.7. Фазификация первой переменной

В качестве терм-множества второй лингвистической переменной будем использовать множество OUT = [«Z», «LN», «N», «GN», «B»] c кусочно-линейными функциями принадлежности, изображенными на рис. 9.8.

Далее выполняются этапы агрегирования, активизации, аккумуляции и дефазификации. В результате получаем обычное количественное значение выходной переменной, которое используется в дальнейшем для регулирования. Зависимость выходной переменной от входной переменной системы нечеткого вывода, рассчитанная по алгоритму Мамдани представлена на рис. 9.9.

Рис. 9.8. Фазификация второй переменной

Рис. 9.9. Зависимость выходной переменной от входной

Контрольные вопросы

1. Понятия о нечетких системах управления.

2. Приведите основные элементы интервальной арифметики.

3. Запишите операции с интервальными векторами и матрицами.

4. Алгоритмы нечетких регуляторов.

5. Приведите структуру нечетких регуляторов.