Интервальная арифметика. Интервальные числа

Пусть R – множество всех вещественных чисел. Под интервалом [ a, b ], a ≤ b, если не оговорено противное, понимается замкнутое ограниченное подмножество R вида

. (9.8)

Mножество всех интервалов обозначим через I (R). Элементы I (R) будем записывать прописными буквами. Если А – элемент I (R), A Î I (R), то его левый и правый концы будем обозначать как . Элементы I (R) называются интервальными числами.

Символы Î, Ç, Ì и т. п. понимают в обычном теоретико-множественном смысле, причем Ì обозначает не обязательно строгое включение, т. е. соотношение A Ì B допускает равенство интервалов. Два интервала А и В равны тогда и только тогда, когда a = b, .

Отношение порядка на множестве I (R) определяется следующим образом: А < В тогда и только тогда, когда . Возможно так же упорядочение по включению: А не превосходит В, если A Ì B. Мы в основном используем первое определение.

ПересечениеA Ç B интервалов А и В пусто, если А < В или В < А, в противном случае – снова интервал.

Симметричным, по определению, является интервал , у которого .

Шириной w(A) интервала А называется величина

. (9.9)

Середина m (A)есть полусумма концов интервала А:

. (9.10)

Абсолютная величина | A | имеет вид

. (9.11)

Наконец, . Нетрудно заметить, что | A | £ | B |, w(A) £ w(B), когда A Ì B, причем w(A) < w(B), если A Ì B и A ¹ B.

Расстояние r (A, B) между элементами A, B Î I (R) вводится равенством

.

Вырожденный интервал, т. е. интервал с совпадающими концами , отождествим с вещественным числом а. Таким образом, R Î I (R).

Стандартная интервальная арифметика. Арифметические операции над интервальными числами определяются следующим образом. Пусть *Î{+, -, ×, /}, A, B Î I (R). Тогда

, (9.12)

причем в случае деления 0 Ï B.

Легко проверить, что определение (9.12) эквивалентно следующим соотношениям:

; (9.13)

; (9.14)

; (9.15)

. (9.16)

Заметим, что операцию вычитания можно выразить через сложение и умножение, положив

и . (9.17)

В зависимости от знака чисел правило (9.7) для интервального умножения будет выглядеть так (мы полагаем):

1. ; (9.18)

2. ; (9.19)

3. ; (9.20)

4. ; (9.21)

5. ; (9.22)

6. ; (9.23)

7. ; (9.24)

8. ; (9.25)

9. . (9.26)

Отсюда видно, что только в одном (последнем) случае для нахождения произведения требуется четыре умножения, а в остальных достаточно двух.

Если А и В – вырожденные интервалы, то равенства (9.13)-(9.16) совпадают с обычными арифметическими операциями над вещественными числами. Таким образом, интервальное число есть обобщение вещественного числа, а интервальная арифметика – обобщение вещественной.

Из определения видно, что интервальные сложение и умножение ассоциативны и коммутативны, иначе говоря, для A, B, C Î I (R) имеют место равенства:

A + (B + C) = (A + B) + C, A + B = B + A;

A × (B × C) = (A × B) × C, A × B + B × A. (9.27)

Роль нуля и единицы играют обычные 0 и 1, которые, как отмечалось, отождествляются с вырожденными интервалами [0,0] и [1,1]. Другими словами

A + 0 = 0 + A = A, A ×1 = 1× A = A (9.28)

для любого A Î I (R). В дальнейшем точку для обозначения умножения будем, как правило, опускать.

Равенство (9.12) (как и (9.13)-(9.16)) показывает, что если один из операндов является невырожденным интервалом, то результат арифметической операции также невырожденный интервал. Исключение составляет умножение на 0 = [0, 0]. Отсюда, в частности, следует, что для невырожденного интервала А не существует обратных по сложению и умножению элементов, так как если А + В = 0, АС = 1, то А, В, С должны быть в силу сказанного вырожденными. Таким образом, вычитание не обратно сложению, деление не обратно умножению. Значит, A – A ¹ 0, A / A ¹ 1, когда w(A) > 0. Понятно, однако, что всегда 0 Î A – A, 1Î A / A.

Субдистрибутивность. Интересным свойством интервально-арифметических операций является невыполнение закона дистрибутивности – равенство

(9.29)

не всегда имеет место. Действительно, [0,1](1–1) = 0, в то время как [0,1] – [0,1] = [–1,1]. Однако всегда справедливо включение

A (B + C) Ì AB + AC, (9.30)

называемое субдистрибутивностью. В самом деле, если d Î A (B + C), то это значит, что d = a (b + c), где a Î A, b Î B, c Î C, но ab Î AB, ac Î AC, следовательно d = ab + ac Î AB + AC.

Отметим некоторые важные случаи, когда (9.30) совпадает с (9.29). Будем называть интервал А нуль содержащим интервалом (н.с.-интервалом), если . Положим, по определению

(9.31)

Пусть в каждом из произведений А (В + С), АВ, АС нет одновременно двух н.с.-интервальных множителей. Тогда имеет место цепочка равенств:

(9.32)

Полученное выражение будет нулем в случае w(A) = 0 или же когда s (B + C) = s (B) + s (C). Для выполнения последнего равенства необходимо и достаточно, чтобы не только bc, но и были положительными. Это будет так, если B = [0,0] или C = [0,0], либо sign (B) = sign (C). Сказанное справедливо для А, не являющегося н.с.-интервалом. Для н.с.-интервала А приведенные выводы остаются верными, когда ни один из интервалов В, С, В + С не будет н.с.-интервалом. Если А и В + + С – н.с.-интервалы, а ни В, ни С таковыми не являются, первое в цепочке равенств (9.32) заменяют строгим неравенством и, таким образом, (9.29) не имеет места. Ничего определенного нельзя сказать в случае, когда А, В + С и В и (или) С – н.с.-интервалы. Однако для симметричных интервалов В и С дистрибутивность (9.29) всегда имеет место.

Итак, установлено, что

1) всегда справедливо (9.30);

2) если w(A) = 0 или B = [0,0], или , то А (В + С) = АВ + АС;

3) если А – не н.с.-интервал, то А (В + С) = АВ + АС тогда и только тогда, когда sign (B) = sign (C);

4) если d ³ 0, где , то А (В + С) = АВ + АС;

5) если В и С – симметричные, то А (В + С) = АВ + АС.

Монотонность по включению. Интервальная арифметика обладает таким важным свойством, как монотонность по включению. Это значит, что если A Ì C, B Ì D, то

A + B Ì C + D A – B Ì C – D AB Ì CD. (9.33)

A / B Ì C / D (если 0 Ï D).

Эти соотношения прямо вытекают из определения (9.12). Пользуясь тем, что отношение включения транзитивно, мы приходим к следующему фундаментальному результату.