Теорема 9.1

Если F (X ₁, X ₂,…, X_n) является рациональным выражением от интервальных переменных X ₁, X ₂,…, X_n, т. е. конечной комбинацией интервалов X ₁, X ₂,…, X_n и конечного набора постоянных интервалов, соединенных интервальными арифметическими операциями, то из , следует

при любом наборе интервальных чисел , для которого интервальные арифметические операции в выражении имеют смысл (т. е. не встретится деление на интервал содержащий нуль).

9.1.6. Интервальные векторы и матрицы. Пусть Rⁿ – множество всех n -мерных векторов a = (a ₁, a ₂,..., a_n), a_i Î R, i = . Через I (Rⁿ) обозначим множество всех n -мерных интервальных векторов, т. е. множество упорядоченных интервалов A = (A ₁, A ₂,..., A_n), A_i Î I (Rⁿ), i = . Аналогично и I () есть соответственно множество всех вещественных и интервальных матриц размера R^{p ´ n}. Аналогично интервальным числам, будем обозначать интервальные векторы и матрицы прописными буквами.

Если a Î Rⁿ (соответственно ), A Î I (Rⁿ) (соответственно I ()), то запись a Î A означает a_i  Î A_{i ,} i = (соответственно a_ij Î A_{ij ,} i = , j = ). Точно так же для элементов I (Rⁿ), I () соотношение A Ì B понимается в смысле покомпонентного включения.

Будем считать, что пересечение A Ç B для интервальных векторов пусто, если A_i Ç B_i = Æ хотя бы для одного i. В противном случае A Ç B = A_i Ç B_i, …, A_n Ç B_n.

Для A = (A ₁, A ₂,..., A_n), по определению, полагаем

; (9.34)

(9.35)

Далее, норма интервального вектора A есть

, (9.36)

а расстояние между векторами A и B

. (9.37)

Для AÎ I (R^{p ´ n}) будем обозначать через m (A) матрицу с элементами m (A_ij), i, j = , , а в качестве нормы используем

. (9.38)

Легко видеть, что если A, B Î I (Rⁿ) или I (R^{p ´ n}), то из A Ì B вытекает:

|| A || £ || B ||, w(A) £ w(B). Если a Î Rⁿ, то операторы Pr_i определяются равенствами Pr_ia = a_i, i = .