Домашнее хозяйство (инвестиции отсутствуют)

К концу периода t домашнее хозяйство имеет доход Y_t и потребляет блага в объеме С_t. Если B_{t - 1} ≠ 0 есть унасле­дованное чистое финансовое богатство, а r - (постоянная) реальная процентная ставка, изменение богатства равно:

(А3.1) B_t - B_{t - 1} = Y_t - C_t + rB_{t - 1}

или

B_t-1 = (B_t - Y_t + C_t)/(1 + r).

Это справедливо также и для t + 1:

(A3.2) B_t = (B_{t + 1} - Y_{t + 1} + С_{t + 1})/(l + r) или, подставляя

B_{t - 1} = (C_t - Y_t)/(1 + r) + (C_{t + 1} - Y_{t + 1})/(l + r)² + B_{t + 1}/(l + r)²

Последовательность интераций дает:

(A3.3)

Следует обратить внимание на последний член уравне­ния, представляющий настоящую ценность чистых активов субъекта в период t + n. Поскольку n стремится к беско­нечности, следует ожидать, что домохозяйству придется оплатить свой долг - перевести ресурсы, настоящая цен­ность которых равна первоначальному долгу. (Домохозяй­ство не сможет выплатить свои долги, бесконечно занимая средства.) В формулировках модели, описанной в основ­ном тексте, это эквивалентно условию, что по окончании второго периода не существует никаких чистых, или поло­жительных, активов. При стремлении π к бесконечности, данное требование может быть записано как^[50]

(А3.4)

В то же время, не имеет смысла подходить к «концу» с неистраченным богатством, которое говорит об упущенном потреблении. Если мы примем это во внимание, неравен­ство (3.4) можно заменить равенством. Теперь найдем вы­ражение с бесконечным горизонтом, эквивалентное (3.4) в основном тексте, для периода t = 1:

(A3.5)

из чего следует, что настоящая ценность потребления рав­на богатству домашнего хозяйства, т. е. сумме унаследо­ванного финансового богатства B0, процента на это богат­ство rB0 и настоящей ценности дохода.