Признак сравнения. Доказать

1.) Признак сравнения 1. Пусть для членов рядов (а) и (b) выполняется неравенство 0 £ u_n £ v_n, тогда из сходимости ряда (b) следует сходимость ряда (a) и из расходимости ряда (a) следует расходимость ряда (b). Т.е., если ряд с большими членами сходится, то ряд с меньшими членами тем более будет сходится и наоборот.

Док-во. Частичные суммы ряда (а) - s_n и ряда (b) – S_n связаны неравенством 0£s_n £ S_n и условием сходимости ряда (b) S_n < S. Это устанавливает верхний конечный предел на s_n: 0 £ s_n £ S_n < S, т.е. ряд (а) сходится.

Пр. Определить сходимость ряда . Введем второй ряд . Это геометрическая прогрессия с q = 1/5. Онасходится. Из сравнения членов u_n = 1/n5ⁿ <v_n = 1/5ⁿ следуетсходимость исходного ряда.

Признак сравнения 2. Если предел отношения общих членов двух разных рядов не 0 или ¥, то сходимость обоих рядов совпадает: при n ® ¥. В этом случае u_n, v_n бесконечно малые величины одного порядка.