Опр. бесконечной числовой последовательности и ее предела. Опр. числового ряда и его суммы

Опр. Бесконечной числовой последовательностью наз. последовательность значений функции f(x) ( определенной на всей числовой оси) при целочисленных значениях аргумента. Обозначения: u_n = f(n), где n = 1, 2, 3,... или u_1, u_2, u_3,..., u_n,...

Пр. Если f(x) = 2^x, то имеем 2,4,8,..., если f(x) = 1/2^x, то имеем ½,1/4, 1/8, 1/16,...

Опр. Пределом числовой последовательности u_n наз. число А, такое, что разность между ним и u_n при n ® ¥ делается бесконечно малой величиной

lim (u_n – A) = 0 или lim u_n = A при n ® ¥

Опр. Числовым рядом наз.сумма членов бесконечной числовой последовательности

u₁ + u₂ + u₃ +... + u_n +... = (1)

Непосредственно просуммировать ряд нельзя, т.к. число слагаемых бесконечно. Приходится вводить специальную процедуру.

Опр. Частичной суммой ряда S_n наз. сумма ее первых n членов. S_n =

Частичные суммы ряда (1) образуют вспомогательную числовую последовательность

S₁, S₂, S₃,..., S_n,..., где S_n = S_{n – 1} + u_n, которая может сходится или расходится.

Опр. Суммой числового ряда (1) наз. предел последовательности частичных сумм ряда S = lim S_n при n ® ¥ (2)

Ряд наз. сходящимся, если предел (2) конечен и расходящимся, если бесконечен.