Опр. ряда Фурье, ортогональной системы функций. Вычисление коэффициентов разложения в ряд Фурье

Опр. Рядом Фурье для функции f(x) наз. тригонометрический ряд (1 + x)^m = 1+ m x + m(m-1)/2! x² + m(m-1)(m-2)/3! x³ +.. = (18)

, который равномерно сходится и его сумма S(x) = f(x), т.е. построен под конкретную функцию.

Опр. Система функций u₁(x), u₂(x),..., u_n(x),... наз. ортогональной, если интеграл от произведения этих функций удовлетворяет условию

u_i(x) u_j(x) dx = 0 при i j и = 1 при i = j (20)

Если функция f(x) разлагается в ряд по системе ортогональных функций { u_n }

f(x) = c_n u_n, то ее коэффициенты равны c_n = f(x) u_n(x) dx. Эта формула получается после умножения ряда на u_n(x) и интегрирования с учетом (20).

Определим коэффициенты ряда Фурье. Для этого проинтегрируем его почленно и получим = а₀ . Умножим все члены ряда (1) на сos kx и проинтегрируем с учетом соотношений (21). В результате получаем простые соотношения для произвольных коэффициентов ряда Фурье, которые зависят только от вида f(x):

а₀ = 1/ ; a_n = 1/ ; b_n = 1/