Основные свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости

1⁰ Отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость ряда.

Док-во. Имеем и . Пусть , тогда lim S_n = lim(S_k + s_{n – k}) = S_k + lim s_{n – k} при n ® ¥

Если существует конечный предел слева, то существует предел и справа, т.е. укороченный ряд тоже сходится.

2⁰ Если все члены ряда имеют общий множитель, то он является общим множителем для всего ряда = с = с S. Это свойство пределов.

3⁰ Почленное сложение двух рядов приводит к сложению их сумм. (Это свойство пределов) = + = S₁ + S₂

Необходимый признак сходимости.

Если числовой ряд (1) сходится, то общий член ряда u_n стремится к нулю с ростом n

lim u_n = lim (S_n – S_{n – 1}) = S – S = 0 при n ® ¥

Если lim u_n ¹ 0 при n ® ¥, то ряд расходится.