Опишите динамику системы Лоренца

В 1963 году в вышла статья Н.Лоренца “Детерминированное непериодическое течение”. В этой работе из системы уравнений Навье-Стокса впервые была получена нелинейная автономная система., Система Лоренца возникла в задаче о моделировании конвективного течения жидкости, подогреваемой снизу. Такое течение описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных. Система (1) получается из нее проектированием на специальное трехмерное подпространство.

(1) Здесь x -отвечает за скорость вращения водяных валов, y и z — за распределение температуры по горизонтали и вертикали, r — нормированное число Рэлея, σ — число Прандтля (отношение коэффициента кинематической вязкости к коэффициенту температуропроводности), b содержит информацию о геометрии конвективной ячейки. Обычно исследования системы Лоренца проводят при σ = 10, r = 28 и b = 8/3 (классические значения параметров).

Рассмотрим изменения в поведении решения системы Лоренца при различных значениях параметра r.

r <1 — аттрактором является начало координат, других устойчивых точек нет.

1< r <13,927 — траектории спирально приближаются (это соответствует наличию затухающих колебаний) к двум точкам, положение которых определяется формулами:

Эти точки определяют состояния стационарного режима конвекции, когда в слое формируется структура из вращающихся валов жидкости.

r ≈13,927 — если траектория выходит из начала координат, то, совершив полный оборот вокруг одной из устойчивых точек, она вернется обратно в начальную точку — возникают две гомоклинические петли. Понятие гомоклинической траектории означает, что она выходит и приходит в одно и то же положение равновесия.

r >13,927 — в зависимости от направления траектория приходит в одну из двух устойчивых точек. Гомоклинические петли перерождаются в неустойчивые предельные циклы, также возникает семейство сложно устроенных траекторий, не являющееся аттрактором, а скорее наоборот, отталкивающее от себя траектории. Иногда по аналогии эта структура называется «странным репеллером»

r ≈24,06 — траектории теперь ведут не к устойчивым точкам, а асимптотически приближаются к неустойчивым предельным циклам — возникает собственно аттрактор Лоренца. Однако обе устойчивые точки сохраняются вплоть до значений r ≈24,74.При больших значениях параметра траектория претерпевает серьезные изменения. При очень больших r система переходит в режим автоколебаний, при этом, если уменьшать параметр, будет наблюдаться переход к хаосу через последовательность удвоений периода колебаний.