Вывод дифференциального уравнения

Пусть в направлении x через тело переносится количество массы m_x, на расстояние (x + x) через площадку S = 1 м² проходит уже иное количество массы , это происходит за счет изменения количества массы m в объеме x (рис. 2.1,a). Запишем закон сохранения массы: разница между входящей в объем массой m_x и выходящей из него идет на изменение количества dm количества массы в объеме x, то есть

m_x = + dm(2.3)

Запишем количество массы m_x и , переносимое через единичную площадку за время d через потоки j_x и :

m_x = j_xd , = d ,

а изменение количества в объеме x = 1 через изменение плотности d

dm = ( / )dxd .

Тогда, подставляя эти значения масс в (2.3), получим

,

возьмем предел этого отношения при x 0

,

Закон сохранения массы примет вид

,(2.4)

Подставим в (2.4) вместо j обобщенный закон Фика (2.2)

,(2.5)

Для трехмерной задачи следует записать это выражение по направлениям осей y и z, после сложения этих выражений получаем дифференциальное уравнение сохранения массы в дифференциальной форме

(2.6)

Здесь приняты следующие обозначения векторного анализа:
Полная производная функции f

(2.7)

Градиент функции f

(2.8)

Дивергенция функции f

(2.9)

Рассмотрим частные случаи уравнения (2.6):
Несжимаемая жидкость. По определению для несжимаемой жидкости = const, что приводит из (2.6) к следующему определению несжимаемой жидкости:

(2.10)

тогда уравнение (2.6) примет вид

(2.11)

Если коэффициент диффузии величина постоянная, то есть D = const, и

,

Здесь принята во внимание следующая формула из векторного анализа

,(2.12)

где символ носит название оператора Лапласа.
Если нет молекулярного переноса, то есть D = 0, то уравнение (2.6) примет вид

(2.13)

и носит название уравнения сплошности.