Исследование функций

Монотонность. Одной из важных характеристик функции является её поведение на отдельных промежутках, а именно возрастание или убывание.

Определение. Функция , определенная на промежутке Х называется неубывающей на промежутке Х, если выполняется

;

невозрастающей на этом промежутке, если выполняется

.

Если неравенства и , т. е. строгие, то функция называется монотонно возрастающей или монотонно убывающей.

Невозрастающие или неубывающие функции называются монотонными функциями. Монотонно возрастающая и монотонно убывающая функции называются строго монотонными.

Теорема 6 ( необходимый и достаточный признак монотонности).Для того чтобы дифференцируемая на открытом промежутке функция не убывала (не возрастала) на этом промежутке необходимо и достаточно, чтобы:

.

Следствие. Если , то строго возрастает на , если , то строго убывает на .

Отметим, что условия и не являются необходимыми для строгого возрастания и убывания. Например, , а функция строго возрастает всюду.

Теорема остается справедливой для непрерывных функций, не имеющих производных в конечном числе точек. Для проверки достаточно ее последовательно применить ко всем промежуткам, на которые разбивается заданный интервал множеством точек, где производные не существуют.

Экстремумы. Пусть функция определена на открытом промежутке .

Определение 5. Точка называется точкой максимума функции , если существует некоторая окрестность точки , что

.

Точка называется точкой минимума функции , если

.

Если выполняется условие (или ), то называется точкой строгого максимума (строгого минимума).

очки максимума и минимума (строгого max и строгого min) называются точками экстремума функции . На рисунке x₁ - точка максимума, а x₂ - точка минимума.

y

x

Теорема 7 ( необходимый признак экстремума ). Если дифференцируемая в окрестности точки и функция имеет в точке экстремум, то

Геометрически теорема выражает тот факт, что, если в точке есть экстремум, то касательная к кривой в этой точке параллельна OX.

x0 x1 x

иии

Точки, в которых называются стационарными. Точки, в которых первая производная равна 0 или не существуют, называются критическими.

Теорема 8 (достаточный признак экстремума ). Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности критической точки и дифференцируема в этой окрестности (за исключением, может быть самой точки ). Тогда, если при , а при , то - точка строго локального максимума. Если при , а при , то - точка строгого минимума.

Примеры. Определить интервалы монотонности и найти экстремумы.

1) . Найдем сначала критические точки.

.

Проверим признак в каждой критической точке, одновременно исследуя монотонность.

+ – + + +

x

пределение 6

-0,2 min

2) поэтому экстремумов нет и функция всюду возрастает.

3) ; . Производная в точке не существует, но при переходе через неё изменяет знак с плюса на минус, поэтому есть точка max.

4) ; . Функция всюду возрастает, экстремумов нет.

Выпуклость и точки перегиба функции. Пусть функция дифференцируема в окрестности точки .Тогда уравнение

()

есть уравнение касательной к графику в точке .

Определение. Функция называется выпуклой (выпуклой вверх) в окрестности точки , если выполняется условие:

,

т.е. график расположен ниже касательной в точке .

Функция наз. вогнутой (выпуклой вниз) в) в окрестности точки , если

,

т.е. график расположен выше касательной в точке .

x0

y

x

x0

x

y

Определение. Функция называется выпуклой на открытом промежутке , если она выпуклая в окрестности любой точки .

Определение. Точка называется точкой перегиба непрерывно дифференцируемой в проколотой окрестности точки функции , если в этой точке изменяется характер выпуклости (рис.5).

Теорема 9. Пусть имеет на открытом промежутке производные до 2-ого порядка включительно, причем непрерывна в точке тогда:

а)если , то при функция выпуклая в окрестности точки , при функция выпуклая вниз, т.е. вогнутая.

б) если изменяет знак при переходе через точку , то -точка перегиба функции . Кроме того, если существует, то .

Примеры. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба следующих функций.

1) ;

Решение. ; . Следовательно, точка перегиба, т.к. изменяется знак второй производной при переходе через эту точку.

2) .

Решение. , в т. неопределенна. Т.к. , то x=0 – точка возврата.

Асимптоты. Часто оказывается, что график функции неограниченно близко приближается к некоторой прямой, т.е. расстояние от графика до этой прямой при удалении по графику становится как угодно малым. Такие прямые называются асимтотами.

Определение. Прямая называется вертикальной асимптотой функции , если хотя бы один из пределов или равен или .

Примеры. 1)Функция имеет вертикальнуюасимптоту , т.к.

; .

Рис.7

Рис.8

2) ; . Прямая x=0 -вертикальная асимптота.

Определение. Прямая называется наклонной асимптотой функции при , если

Теорема 10. Для того, чтобы прямая была наклонной асимптотой функции при необходимо и достаточной, чтобы существовали пределы: