Правило Лопиталя и формула Тейлора

Наряду с основным приемом нахождения пределов функции - методом выделения главной части, существуют и другие способы отыскания пределов.

Теорема 4. Пусть функции и удовлетворяют условиям:

а) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки за исключением может быть самой точки ;

б) ;

в) в проколотой окрестности точки ;

г) существует ,

тогда существует , причем .

Аналогичные утверждения имеют место, когда x₀=+∞(-∞), икогда , т.е. раскрывается неопределенность и справедливо равенство

Замечания. 1) Таким образом, существует общий способ нахождения предела отношения двух функций, основанный на равенстве Этот способ называется правилом Лопиталя.

2) Если для производных и выполняют условия теоремы, то правило Лопиталя можно применить повторно, т.е. .

Примеры. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

1) . 2) . 3) .

Кроме неопределенностей и встречаются еще неопределенности других типов.

Под раскрытием неопределенности типа понимают нахождение предела , когда и .

Под неопределенностью типа понимают нахождение предела , если и .

Неопределенности типа и сводятся к неопределенностям или путем алгебраических преобразований.

Другие неопределенности ; ; обычно сводятся к неопределенностям или путем логарифмирования выражения .

Примеры. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

1) . 2) . 3) .

Формула Тейлора. Здесь будет рассмотрена формула, которая является одной из основных в математическом анализе и имеет многочисленные приложения, как в самом анализе, так и в других дисциплинах.

Теорема 5. Пусть функция имеет в некоторой окрестности т. (n+1)- ю производную, x – любое значение аргумента из этой окрестности и p – произвольное положительное число. Тогда между точками и найдется также точка , что будет справедлива формула Тейлора:

,

где .

Выражение называется остаточным членом в формуле Тейлора, записанным в форме Лагранжа.

Замечания. 1)Если , то формула Тейлора называется формулой Маклорена и имеет вид:

.

2)Существуют и другиевиды остаточныхчленов, например

или

называется остаточным членом в форме Пеано, который означает, что он является бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем =

Практическая значимость формулы Тейлора состоит в том, что она позволяет заменить функцию , имеющую на промежутке производные до -го порядка включительно, многочленом -й степени

,

а различные формы остаточного члена позволяют оценить возникающую при этом погрешность. Таким образом, формула Тейлора может быть использована для получения различных формул для приближенного вычисления значений функций.

Запишем представление некоторых элементарных функций с помощью формулы Тейлора по степеням , когда , т.е. по формуле Маклорена.

1) .

2) .

3)

4)

Ясно, что при - целое число, то из последней формулы получим бином Ньютона

.

Формулой Тейлора иногда удобно пользоваться для вычисления пределов.

Примеры. Вычислить пределы, разложив функцию по формуле Тейлора.

1) .

Решение. При имеем , тогда

.

Здесь использовано: .

2) .

; ;

3)

.