Производная и дифференциал. Производная и дифференциал

ГЛАВА 3. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ

Производная и дифференциал

Пусть функция определена на промежутке и .

Определение. Если существует предел , то он называется производной функции в точке и обозначается или .

Операция нахождения (вычисления) производной называется дифференцированием.

Итак

. (1)

Если обозначить , то называется приращением аргумента, - приращением функции.

Теперь (1) можно записать в виде

.

Пример. Вычислить производную по определению:

1)

.

2) =

не существует, поскольку предел (1) не существует (разные односторонние пределы в точке x=0)

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке если она имеет в производную в этой точке.

Функция определенная на и дифференцируемая в каждой точке множества называется дифференцируемой на множестве .

Теорема 1. Всякая дифференцируемая в точке функция, непрерывна в этой точке.

Определение. Выражение , линейное относительно переменной , называется дифференциалом (первым дифференциалом) функции в точке и обозначается или :

, .

Поскольку если , то производную часто обозначают следующим образом:

.

Т.к. при , имеет место приближенная формула , то . Эта формула используется в приближенных вычислениях.

Пример. Вычислить приближенно .

Геометрический смысл производной. Пусть функция дифференцируема в точке , т.е. .

На графике функции (рис.1) возьмем фиксированную точку и текущую точку

y

M(x,y)

A

)

α

φ

y=f(x,y)

O

x

Рис. 1.

Здесь = - угловой коэффициент секущей .

При точка и .

Тогда

.

Предельное положение секущей называется касательной прямой к графику функции в точке . Угловой коэффициент касательной равен значению производной в этой точке. В этом состоит геометрический смысл производной. Запишем уравнение касательной, воспользовавшись уравнением прямой с угловым коэффициентом:

.

Тогда уравнение касательной прямой будет иметь вид:

Рассмотрим физический смысл производной. Пусть точка движется прямолинейно вдоль оси и - её координата в момент времени . Тогда её путь, пройденный за отрезок . Отношение есть средняя скорость точки за время с момента до момента . Тогда предел (если он существует)

называется мгновенной скоростью точки в момент времени и производная есть мгновенная скорость точки v(t) в момент времени .

3.2. Правила дифференцирования.

Теорема 2 ( дифференцирование суммы, произведения и частного). Пусть функции и определены на промежутке X и дифференцируемы в точке . Тогда в этой точке дифференцируемы функции

; ; ; ()

и имеют место формулы:

;

;

;

.

Теорема 3 (дифференцирование сложной функции). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема в точке , а функция определена в точке и дифференцируема в точке, причем . Тогда сложная функция дифференцируема в точке , причем справедлива формула:

или

Пример. Найти производную функции .

Обозначим , , тогда и по формуле имеем .

Производные основных элементарных функций можно свести в следующую таблицу, которая называется таблицей производных.

1. где С – постоянное число.

2. ;

3. ;в частности, .

4. в частности

5. .

6. .

7.

8.

9.

10.

11.

12. .

Примеры. Найти производные следующих функций.

1)

2) ;

3) .

Определение. Пусть функция имеет на промежутке производную . Если в точке функция дифференцируема, то ей производную называют второй производной (производной второго порядка) функции в этой точке и обозначают или .

Аналогично определяется производная любого n –го порядка. Пусть имеет на промежутке производные . Тогда если в точке существуют производные от функции , то она называется производной n–го порядка в точке . Итак, если имеет производную n –го порядка, то

Функция, имеющая на некотором промежутке производные до n –го порядка включительно, называется n–раз дифференцируемой на промежутке. Если функция имеет производные любого порядка на промежутке , то она называется бесконечно дифференцируемой на этом промежутке.

Примеры. 1) 2) 3) .