Диференціальна функція розподілу, її властивості

Нехай випадкова величина – неперервна, тоді функція розподілу F(x) теж неперервна. Нехай в околі точки х F(x) диференційовна.

Означення. Диференціальною функцією розподілу f(x) називають першу похідну інтегральної функції F(x), тобто

(1)

Властивість 1. Диференціальна функція невід’ємна:

.

Доведення. Ця властивість випливає із означення диференціальної функції як похідної від не спадної функції розподілу F(x). Геометрично це означає, що графік диференціальної функції розміщений або над віссю абсцис, або збігається з нею. Графік диференціальної функції називається кривою розподілу.

Властивість 2. Ймовірність того, що неперервна випадкова величина прийме значення із інтервалу дорівнює визначеному інтегралу від диференціальної функції, взятому в межах від до , тобто:

Із наслідку 2 параграфа 6.1 маємо:

Якщо покласти у формулі (2) і застосувати теорему про середнє значення у визначному інтегралі, то можна записати:

Розділивши почленно в останній рівності на , отримаємо:

Останнє відношення є середньою щільністю розподілу ймовірностей на проміжку . Якщо перейти до границі при то отримаємо:

.

- щільність розподілу ймовірності неперервної випадкової величини в даній точці. У зв’язку з цим функцію f(x) називають диференціальною функцією розподілу або щільниістю розподілу.

Приклад 1. Дана диференціальна функція випадкової величини. Знайти ймовірність, що в результаті випробування випадкова величина прийме значення із інтервалу (0, 5; 1), якщо диференціальна функція дорівнює:

Розв’язання. За формулою (2)

.

Властивість 3. Інтегральна функція розподілу може бути виражена через диференціальну:

(3)